Математика задача – Сборник задач по математике

Задачи современной математики, которые до сих пор не решены

На протяжении веков лучшие умы человечества решали одну математическую задачу за другой, однако есть несколько, не поддавшихся до сих пор никому. За нахождение алгоритма их решения некоторые фонды и компании готовы заплатить большие деньги.

Василий Парфенов

Гипотеза Коллатца

Гипотеза Коллатца Другие названия: гипотеза 3n+1, сиракузская проблема, числа-градины. Если взять любое натуральное число n и совершить с ним следующие преобразования, рано или поздно всегда получится единица. Четное n нужно разделить надвое, а нечетное — умножить на 3 и прибавить единицу. Для числа 3 последовательность будет такой: 3×3+1=10, 10:2=5, 5×3+1=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1. Очевидно, что если продолжить преобразование с единицы, то начнется цикл 1,4,2. Достаточно быстро количество шагов в вычислениях начинает превышать сто и на решение каждой новой последовательности требуется все больше ресурсов.

Небольшой прогресс в решении этой задачи почти вековой давности наметился буквально в прошлом месяце. Однако знаменитый американской математик Терренс Тао лишь ближе всех подошел к нему, но ответа все равно пока не нашел. Гипотеза Коллатца является фундаментом такой математической дисциплины, как «Динамические системы», которая, в свою очередь, важна для множества других прикладных наук, например, химии и биологии. Сиракузская проблема выглядит, как простой безобидный вопрос, но именно это делает ее особенной. Почему ее так сложно решить?

Проблема Гольдбаха (бинарная)

Проблема Гольдбаха Еще одна задачка, формулировка которой выглядит проще пареной репы — любое четное число (больше 2) можно представить в виде суммы двух простых. И это краеугольный камень современной математики. Данное утверждение легко проверяется в уме для небольших значений: 18=13+5, 42=23+19. Причем рассматривая последнее, можно достаточно быстро понять всю глубину проблемы, ведь 42 представляется и как 37+5 и 11+31, а еще как 13+29 и 19+23. Для чисел больше тысячи количество пар слагаемых становится просто огромным. Это очень важно в криптографии, но даже самые мощные суперкомпьютеры не могут перебирать все значения до бесконечности, поэтому нужно какое-то четкое доказательство для всех натуральных чисел.

Проблема была сформулирована Кристианом Гольдбахом в его переписке с другим величайшим светилом математики Леонардом Эйлером в 1742 году. Сам Кристиан ставил вопрос несколько проще: «каждое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел». В 2013 году перуанский математик Харальд Хельфготт нашел окончательное решение этого варианта. Однако предложенное Эйлером следствие этого утверждения, которое и назвали «бинарной проблемой Гольдбаха», до сих пор не поддается никому.

Гипотеза о числах-близнецах

Числа-близнецы Близнецами называются такие простые числа, которые отличаются всего на 2. Например, 11 и 13, а также 5 и 3 или 599 и 601. Если бесконечность ряда простых чисел была доказана множество раз начиная с античности, то бесконечность чисел-близнецов находится под вопросом. Начиная с 2, среди простых чисел нет четных, а начиная с 3 — делящихся на три. Соответственно, если вычесть из ряда все, подходящие под «правила деления», то количество возможных близнецов становится все меньше. Единственный модуль для формулы нахождения таких чисел — 6, а формула выглядит следующим образом: 6n±1.

Как и всегда в математике, если проблема не решается «в лоб», к ней подходят с другого конца. Например, в 2013 году было доказано, что количество простых чисел, отличающихся на 70 миллионов, бесконечно. Тогда же, с разницей менее чем в месяц, значение разницы было улучшено до 59 470 640, а затем и вовсе на порядок — до 4 982 086. На данный момент существуют теоретические обоснования бесконечности пар простых чисел с разницей в 12 и 6, однако доказанной является лишь разность в 246. Как и прочие проблемы такого рода, гипотеза о числах-близнецах особенно важна для криптографии.

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана Если кратко, то Бернхард Риман предположил, что распределение простых чисел по множеству всех натуральных чисел не подчиняется каким-либо законам. Но их количество на заданном участке числового ряда коррелирует с распределением определенных значений на графике дзета-функции. Она расположена выше и для каждого s дает бесконечное количество слагаемых. Например, когда в качестве s подставляется 2, то в результате получается уже решенная «базельская задача» — ряд обратных квадратов (1 + ¼ + 1/9 + 1/16 + …).

Одна из «проблем тысячелетия», за решение которой назначен приз в миллион долларов, а также вхождение в пантеон «богов» современной математики. На деле, доказательство этой гипотезы настолько сильно толкнет вперед теорию чисел, что это событие по праву будет называться историческим. Многие вычисления и утверждения в математике строятся на предположении о том, что «гипотеза Римана» верна, и до сих пор никого не подводили. Немецкий математик сформулировал знаменитую задачу 160 лет назад, и с тех пор к ее решению подступались неисчислимое количество раз, однако прогресс очень скромен.

Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера Еще одна «задача тысячелетия», за решение которой Институт Клэя одарит миллионом долларов. Не-математику достаточно трудно хотя бы в общих чертах сформулировать и понять, в чем же суть гипотезы. Берч и Свиннертон-Дайер предположили определенные свойства эллиптических кривых. Идея заключалась в том, что ранг кривой можно определить зная порядок нуля дзета-функции. Как говорится, ничего не понятно, но очень интересно.

Эллиптическими кривыми называются такие линии на графике, которые описываются, на первый взгляд, безобидными уравнениями вида y²=x³+ax+b. Некоторые их свойства чрезвычайно важны для алгебры и теории чисел, а решение данной задачи может серьезно продвинуть науку вперед. Наибольший прогресс был достигнут в 1977 году коллективом математиков из Англии и США, которые смогли найти доказательство гипотезы Берча и Суиннертон-Дайера для одного из частных случаев.

Проблема плотной упаковки равных сфер

Проблема плотной упаковки равных сфер Это даже не одна, а целая категория схожих проблем. Причем мы сталкиваемся с ними ежедневно, например, когда хотим разложить фрукты на полке в холодильнике или как можно плотнее расставить бутылки на полке. С математической точки зрения необходимо найти среднее количество контактов («поцелуев», также называется контактным числом) каждой сферы с остальными. На данный момент есть точные решения для размерностей 1−4 и 8.

Под размерностью или измерением понимается количество линий, вдоль которых размещаются шары. В реальной жизни больше третьей размерности не встречается, однако математика оперирует и гипотетическими значениями. Решение этой задачи может серьезно продвинуть не только теорию чисел и геометрию вперед, но также поможет в химии, информатике и физике.

Проблема развязывания

Проблема развязывания И снова каждый день встречающаяся проблема. Казалось бы, что сложного — узел развязать? Тем не менее, вычисление минимального времени, необходимого для этой задачи является еще одним краеугольным камнем математики. Трудность в том, что мы знаем, вычислить алгоритм развязывания можно, но его сложность может быть такой, что даже самый мощный суперкомпьютер будет считать слишком долго.

Первые шаги на пути решения этой задачи были сделаны в 2011 году американским математиком Грегом Купербергом. В его работе развязывание узла из 139 вершин было сокращено со 108 часов до 10 минут. Результат впечатляющий, но это лишь частный случай. На данный момент существует несколько десятков алгоритмов разной степени эффективности, однако ни один из них не является универсальным. Среди применений этой области математики — биология, в частности, процессы сворачивания белков.

Самый большой кардинал

Самое большое кардинальное число

Какая бесконечность самая большая? На первый взгляд бредовый вопрос, но так и есть — все бесконечности разные по размеру. А точнее, по мощности, ведь именно так различают множества чисел в математике. Под мощностью понимается общее количество элементов множества. Например, самая маленькая бесконечность — натуральные числа (1, 2, 3, …), потому что она включает в себя только целые положительные числа. Ответа на этот вопрос пока нет и математики постоянно находят все более мощные множества.

Мощность множества характеризуется его кардинальным числом или просто кардиналом. Существует целая онлайн-энциклопедия бесконечностей и примечательных «конечностей», названная в честь Георга Кантора. Этот немецкий математик первым обнаружил, что неисчислимые множества могут быть больше или меньше друг друга. Более того, он смог доказать разницу в мощностях различных бесконечностей.

Что не так с суммой числа π и e?

+e Является ли сумма этих двух иррациональных чисел алгебраическим числом? Мы оперируем этими константами сотни лет, но так и не узнали о них все. Алгебраическое число — корень многочлена с целыми коэффициентами. На первый взгляд кажется, что все вещественные числа алгебраичны, но нет, наоборот. Большинство чисел трансцендентны, то есть не являются алгебраическими. Более того, все вещественные трансцедентные числа иррациональны (например, π и e), но вот их сумма может быть любой.

Если от предыдущего абзаца у читателя не заболела голова, то вот продолжение загадки — а что с πe, π/e и π-e? Также неизвестно, а знать это наверняка довольно важно для теории чисел. Трансцедентность числа доказал в конце XIX века Фердинанд фон Линдеман вместе с невозможностью решения задачи квадратуры круга. С тех пор значимых подвижек в решении вопроса не было.

Является ли γ рациональной?

постоянная Эйлера-Маскерони Вот еще одна проблема, которую очень легко написать, но трудно решить. Является ли постоянная Эйлера-Маскерони иррациональной или нет? Рациональные числа можно записать в виде p/q, где p и q — целые числа. Таким образом, 42 и -11/3 являются рациональными, а и √2 — нет. Формула выше позволяет вычислить постоянную, которая является пределом разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа. За определение ее рациональности миллион долларов, конечно, не светит, зато вполне можно рассчитывать на кресло профессора в Оксфорде.

Значение γ было вычислено до нескольких тысяч знаков после запятой, первые четыре из которых — 0,5772. Она достаточно широко используется в математике, в том числе вместе с другим числом Эйлера — e. Согласно теории цепных дробей, если постоянная Эйлера-Маскерони является рациональной дробью, то ее знаменатель должен быть больше 10 в 242 080 степени.

www.popmech.ru

Понятие текстовой задачи по математике

В повседневной жизни люди постоянно сталкиваются с термином «задача» как на профессиональном, так и на бытовом уровне. Нам зачастую приходится решать те или иные проблемы, которые мы привыкли называть задачами. Проблема решения задач, математических и которые возникают перед человеком в бытовой или производственной деятельности, начали изучаться с давних пор, но на сегодняшний день нет общепринятого толкования самого понятия «задача». В общепринятом понимании под задачей имеется в виду некоторая ситуация, требующая исследования и необходимого решения человеком.

Определения текстовой задачи предлагают различные авторы:

1.Текстовая задача – есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения (А.П. Тонких).

2. Текстовая задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий» (М.И.Моро и А.М. Пышкало).

Самого такового определения текстовой задачи нет, есть только понятие причем, по словам Н.В.Метельского это понятие есть неопределенным. По его мнению, «задача – понятие неопределяемое и в самом широком смысле слова означает то, что требует исполнения, решения. Иногда под задачей понимают упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.п. Последнее толкование термина «задача» ближе к понятию «задача в обучении», которую можно назвать дидактической задачей. Математическая задача в обучении … является также неопределяемым понятием, подчиненным понятию «дидактическая задача»».

Существуют некоторые виды задач, которые выделяет Т.Е. Демидов:

1)Коллективные и групповые задачи,

2)Задачи общегосударственные,

3) Задачи определенного круга людей.

Если глубоко рассмотреть текстовую задачу, то можно понять что это некая ситуация которая требует определенного решения.

Задача как цель, которая заданная в определённых условиях, так А.Н. Леонтьев определяет понятие текстовой задачи. Л.Л. Гурова определяет текстовую задачу как объект, мыслительной деятельности, который требует практических действий или ответа на теоретический вопрос путем нахождения условий, необходимых для нахождения связей между неизвестными и известными её элементами. А Л.М. Фридман находит связь между понятием «задача» и «проблемная ситуация».

А.А. Темербекова выделяет математические задачи как особый вид, она в своих работах их раскрывает следующим образом. Математическая задача — это некий лаконический рассказ, в котором присутствуют значения некоторых величин и необходимо отыскать неизвестные значения величин, зависимые от данных и имеют связь в определённых соотношениях, которые даны в условии.

Правильно будет выделить отдельный блок математических текстовых задач, для которых необходимо знать особые математические знания.

Демидова Т.Е. делит задачи на два блока:

1)научные (например, проблема Гольбаха, теорема Ферма и т.д.), при решении развевается математика и её приложения. Они характеризуют настоящие предметы (масса, длина, скорость и т.д.).

2)учебные задачи — это задачи, которые направлены для формирования математических навыков, знаний и умений в разных категориях обещающихся и направлены для улучшения личности обучаемого. А объекты в этих задачах математические (фигуры, числа, и т.д.).

Математическая задача – это необходимость реализовать некоторую математическую деятельность, для которых условие уже указано.

По роли, которую играют учебные задачи, их, делят на:

1)репродуктивные (для решения такого вида задач необходимо знать

определённую формулу),

2)задачи с известным алгоритмом (это такой вид задач, для решения

которых необходимо проделать определённую последовательность действий, для

достижения результата),

3)проблемные (это задачи, которые ориентируют учащихся, на решение какой либо проблемы, связанной с содержанием текста или определено речевым действием, которое необходимо выполнить или обратить внимание).

Задачи, в которых все объекты математические (вычислительные задания,

доказательство теорем и т.д.) принято называть математическими задачами.

Математические задачи называются текстовыми, если в них присутствует хотя бы один объект, который является реальным предметом.

Важнейшая особенность текстовых задач заключается в том, что  в них не показывается, открыто, какое собственно действие необходимо выполнить для получения ответа на вопрос задачи.

В любой текстовой задаче можно выделить следующее:

1)Числовые значения, которые принято называть известными или данными (их следует быть не менее двух),

2)Некоторую систему функциональных зависимостей в неявном виде, взаимоотношения данных и искомых и данных между собой,

3)Вопрос или требование, на который нужно найти ответ.

Условие задачи называют числовые значения величин и имеющиеся между ними некие связи, то есть качественные и количественные характеристики предметов задачи и взаимоотношений между ними. В задаче, как правило, не одно условие, а несколько, которые называют элементарными. Вопрос в задаче может быть выражен как в повествовательной, так и в вопросительной форме, и их также как условий, может быть несколько. Значение величин, которые необходимо найти называют искомой величиной, а числовые величины искомых значений, называют неизвестными или искомыми.

Для того чтобы получить ответ на требование задачи, для этого необходимо ее решить. Решить задачу это значить найти взаимоотношения между данными, которые даны в условии задачи, и искомыми величинами, установить последовательность применение общих положений математики (формул, законов, правил, и так далее), выполнить определенные действия которые даны в задаче, применяя общее положение и получить ответ на требование задачи или доказать что его нет.

infourok.ru

Математика с нуля. Пошаговое изучение математики

«Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих» – это новый проект, предназначенный для людей, которые хотят изучить математику самостоятельно с нуля. Сразу скажем, здесь нет лёгких решений и подобных заявлений, таких как «Купи эту книгу и сдай математику на 5» или «Освой математику за 12 часов» вы тут не увидите. Математика довольно большая наука, которую следует осваивать последовательно и очень медленно.

Сайт представляет собой уроки по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». Каждый урок затрагивает одну или несколько тем из математики. Уроки разбиты на шаги. Начинать изучение следует с первого шага, и так далее по возрастанию.

Каждый изученный урок должен быть понятным. Поэтому, не поняв одного урока, нельзя переходить к следующему, поскольку каждый урок в математике основан на понимании предыдущего. Если вы с первого раза урок не поняли – не расстраивайтесь. Некоторые люди потратили месяцы и годы, чтобы понять хотя бы одну единственную тему. Отчаяние и уныние точно не ваш путь. Читайте, изучайте, пробуйте и снова пробуйте.

Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открыв учебник, учит самогó себя. При этом вырабатывается определенная дисциплина, которая очень помогает в будущем. Если вы будете придерживаться принципа «от простого к сложному», то с удивлением обнаружите, что математика не так уж и сложна. Возможно даже она покажется вам интересной и увлекательной.

Что даст вам знание математики? Во-первых, уверенность. Математику знает не каждый, поэтому осознание того, что вы знаете хоть какую-то часть этой серьёзной науки, делает вас особенным. Во-вторых, освоив математику, вы с лёгкостью освоите другие науки и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет овладеть такими профессиями как программист, бухгалтер, экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.

В общем, дерзай друг!

Желаем тебе удачи в изучении математики!

Новые уроки будут скоро. Оставайся с нами!

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

spacemath.xyz

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о