Задача 128 — мальчики и задачи
Условие
Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.
Решение
$\text{работа}=\text{производительность}\cdot \text{время}$
| Производительность, з\ч | Время, ч | Работа, задач | |
| Вова | $n+2$ | $\frac{33}{n+2}$ | 33 |
| Гоша | $n\in Z$ $(n >0)$ | $\frac{33}{n}$ | 33 |
| Вова и Гоша | $n+n+2$ | $\frac{33}{n+n+2}$ | 33 |
Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут (= 1,25 ч) быстрее, чем это сделал бы один Вова, отсюда имеем:
\[\frac{33}{n+2}-1,25=\frac{33}{n+n+2};\]
\[\frac{33\left( n+2 \right)-33\left( 2n+2 \right)+1,25\left( 2n+2 \right)\left( n+2 \right)}{\left( 2n+2 \right)\left( n+2 \right)}=0;\]
\[33n+66-66n-66+2,5{{n}^{2}}+7,5n+5=0;\]
\[5{{n}^{2}}-51n+10=0;\]
\[\left[ \begin{align}& n=\frac{51+49}{10}=10; \\ & n=\frac{51-49}{10}=0,2. \\ \end{align} \right.\]
Поскольку за час мальчики решают целое количество задач, то n = 10. То есть 10 задач в час решает Гоша.
Чтобы найти, за какое время $t$ Гоша может решит 20 задач, составим уравнение: $10t=20;$ $t=2$.
Правильный ответ
2
Смотрите также:
- Изюм и виноград (смеси и сплавы)
- Сложная задача B14: работа трех исполнителей
- Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
- Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
- C2: расстояние между двумя прямыми
- Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
www.berdov.com
Задача №2. Дети математика (с ответом)
Условие задачи
Встретились как-то два знакомых математика А и В, которые давно не виделись.
А: «У меня трое сыновей»
В: «Сколько им лет?»
А: «Произведение их возрастов равно 36″
В: «Этой информации недостаточно»
А: «Сумма их возрастов равна номеру твоего дома»
В: «Этой информации мне тоже недостаточно»
А: «Мой старший сын рыжий»
На этот раз В назвал возраст всех детей. Сколько лет каждому из них?
Решение задачи «Дети математика»
Для решения задачи нужно каждую фразу из диалога двух математиков переводить в формально-логическую и математическую форму.
А: «У меня трое сыновей»
Есть три неизвестных. Пусть это будет X, Y и Z.
В: «Сколько им лет?»
Задача – определить возраст каждого из сыновей. При этом подразумевается важное условие: их возраст – целое число (1)
А: «Произведение их возрастов равно 36″
X * Y * Z = 36 (2)
В: «Этой информации недостаточно»
То есть для решения уравнения (2) недостаточно одного только условия (1).
X + Y + Z = a (3)
a – число, известное второму математику.
В: «Этой информации мне тоже недостаточно»
Система уравнений (2) и (3) совместно с условием (1) не имеет одного решения. Другими словами система уравнений имеет несколько решений (4).
А: «Мой старший сын рыжий»
Здесь ключевое не то, что сын рыжий, а то, что один из детей старший (5).
На этот раз В назвал возраст всех детей.
Это значит, что система уравнений (2) и (3), совместно с применением условий (1) и (5), имеет однозначное решение.
Поскольку, мы в отличие от второго математика, не знаем его номера дома (число «а»), наша задача несколько сложнее, чем у него. Для её решения нам нужно взять уравнение (2) и расписать все возможные варианты множителей уравнения. Получаем:
36, 1, 1
18, 2, 1
12, 3, 1
9, 4, 1
9, 2, 2
6, 6, 1
6, 3, 2
4, 3, 3
Поскольку математику для определения возраста детей было недостаточно системы уравнений (2) и (3), мы можем сделать вывод, что из представленных вариантов решения уравнения (2) есть несколько, которые в сумме дают одинаковое значение. Таким образом нам нужно посмотреть сумму каждого варианта.
36 + 1 + 1 = 38
18 + 2 + 1 = 21
12 + 3 + 1 = 16
9 + 4 + 1 = 14
9 + 2 + 2 = 13
6 + 3 + 2 = 11
4 + 3 + 3 = 10
Видно, что одинаковую сумму дают только два варианта — 9, 2, 2 и 6, 6, 1. Заодно мы выяснили, какой номер дома у второго математика – 13.
Теперь используя условия (5), о том, что есть старший сын, мы можем найти однозначное решение задачи.
Правильные ответ: 9, 2, 2
Другие нестандартные задачи
lesmanart.ru
Задачка на логику № 1
детей, решивших задачу
Обозначим число мальчиков решивших/нерешивших задачу за «мр» и «мн» соответственно, и число девочек аналогично — «др» и «дн». Тогда из условия задачи: мр + др = дн + др Значит, число детей, решивших задачу, равно числу девочек.
touch.otvet.mail.ru
ЕГЭ по математике 2012. Решение задачи С6 про мальчиков и девочек
Знакомый переслал мне любопытную задачку, встретившуюся на ЕГЭ по математике в 2012-м году. Задачка из раздела С6, то есть из самых сложных и высоко оцениваемых (4 балла). Вот ее
Группа состоит из мальчиков и девочек и посещает театр и кино. Один человек может побывать:
- только в кино
- только в театре
- и в театре, и в кино
но обязательно хотя бы в одном месте.
1) В театр мальчиков может пойти не более 3/13 от всех, кто пошел в театр.
2) В кино мальчиков может пойти не более 4/9 от всех, кто пошел в кино.
Вопросы:
а) может ли в группу входить 10 мальчиков, если всего в группе 20 человек?
б) каким может быть максимальное число мальчиков, если всего в группе 20 человек?
в) какова наименьшая доля девочек в группе при любом количестве человек в группе?
Скачать ЕГЭ по математике 2012. Решение задачи С6 про мальчиков и девочек в формате Word2007
Лирическое отступление. В Интернете я не нашел ни одного ресурса, где бы были приведены правильные ответы на все три вопроса. При том, что арифметика решения задачи не выходит за рамки программы 3-го класса, требуется хорошо проработанная логика, чтобы «добраться» до этой простейшей арифметики. На мой взгляд, проблемы с решением возникают из-за того, что многие начинают решать с попытки ответить на первый (иногда второй) вопрос, и зацикливаются на мальчиках. Но, как говорят французы, Cherchez la femme (Шерше ля фам) – «ищите женщину». 🙂
Решение. Предлагаю начать с ответа на третий вопрос… Для того, чтобы число девочек в группе было как можно меньшим (или мальчиков как можно большим), необходимо, чтобы:
- условия 1) и 2) выполнялись в точности, то есть: в театр мальчиков идет 3/13 от всех, кто пошел в театр; в кино мальчиков идет 4/9 от всех, кто пошел в кино;
- никакие мальчики не идут в оба заведения, в то время как все девочки идут в оба заведения.
Обозначим число девочек, пошедших в театр, через Х. Составим пропорцию:
| Человек пошло в театр | Доля в числе пошедших в театр |
| девочек Х | 10/13 |
| мальчиков Y1 | 3/13 |
Y1 = 3/13 * Х : 10/13 = 3/10 Х
Составим аналогичную пропорцию для кино:
| Человек пошло в кино | Доля в числе пошедших в кино |
| девочек Х | 5/9 |
| мальчиков Y | 4/9 |
Y2 = 4/9 * Х : 5/9 = 4/5 Х
Всего в группе Х + 0,3Х + 0,8Х = 2,1Х человек, а доля девочек 1:2,1 или 10/21.
Ответ в). Наименьшая доля девочек в группе – 10/21
Понятно, что число девочек (как, впрочем, и мальчиков :)) не может быть не целым. Поэтому, если численность группы не кратна 21, то число, полученное как доля 10/21, должно быть округлено до целого в большую сторону (чтобы не нарушить неравенство – доля девочек не может быть меньше 10/21; только равна или больше 10/21).
Итак, если всего в группе 20 человек, то число девочек не может быть меньше 10/21*20 = 9,52, то есть 10 человек.
Ответ б). Если всего в группе 20 человек, максимальное число мальчиков составит 10 человек.
Ответ а). Да. Если всего в группе 20 человек, в группу может входить 10 мальчиков.
baguzin.ru