Деления столбиком: Онлайн калькулятор. Деление столбиком.

Деление в столбик, правила и подробное описание алгоритма решения, деление десятичных дробей, примеры деления в столбик с остатком, как научить ребенка делить столбиком

Повторяем термины

Если вы уже немного знакомы с арифметическими действиями, то, наверное, знаете, как называются числа, с которыми придется иметь дело:

• делимое — это то, что вам нужно разделить;
• делитель — на него всегда делят;
• частное — то, что получается в итоге.

В Интернете есть немало сайтов, где это действие можно выполнить с помощью онлайн-калькулятора.

Важно! Если вы хотите объяснить принцип деления ребенку, не забудьте проверить, помнит ли он правила умножения.

Без умения перемножать числа в этом случае никак не обойтись, ведь результат всегда нужно проверить, а сделать это можно только обратным действием, то есть умножением. Конечно, навыки сложения и вычитания при освоении деления тоже не повредят.

Как записать?

Даже ученик начальных классов знает, как записываются примеры. Между делимым и делителем ставится двоеточие, после примера — знак равенства, а в конце пишется результат. Но простенькие задания с однозначными числами занимают всего одну строчку, а как быть в случае со столбиком, ведь придется делить двузначные, трехзначные и даже еще более крупные числа? Да точно так же, двоеточие вполне годится. Но есть и второй способ — вот такой значок

I_

Такой способ записи называется “уголком”. Слева от вертикальной линии пишется число, которое мы будем делить, над горизонтальной черточкой — делитель, а под ней — частное. Обычный тетрадный лист подходит для такой записи больше, но при желании все возможно и в ворде

Деление с остатком и без

Иметь дело мы будем с целыми числами, а вот в результате может получиться и десятичная дробь, в зависимости от того, допустимо ли в задании частное с остатком. Для начала попробуем разделить трехзначное число на однозначное.

Пример 1

Возьмем 216 разделить 3. Попробуем записать пример:

Посмотрим, какая из первых цифр делится нацело на 3. Двойка? Нет. Значит, берем две цифры — 21. Получится 7, а промежуточное действие будет выглядеть так: Теперь остается разделить на 3 последнюю цифру — 6, потому после первого шага остаток не образовался. Шестерку в столбике надо написать строго под той, что стоит в примере — в этом главный фокус, иначе можно очень легко сбиться. Что ж, давайте запишем аккуратно. Например, вот так:

Пример 2

Но может быть и другая ситуация. Например, когда первые две цифры на однозначное число нацело не делятся. Ничего страшного. Записываем: Первым делом придется делить 76, никуда не денешься. Ближайшее число, кратное 8 (то есть то, которое делится без остатка), — 72. Его и будем отнимать. Получим 9, которое сразу запишем в частное, и 4 в остатке — его нужно поместить под чертой: Следующий шаг — дописать к этой четверке последнюю цифру. Получится 48, его мы на 8 и разделим, от этого действия получится вторая цифра в результате — 6. Наш пример будет выглядеть теперь вот так:

Двузначный делитель

Что будет, если попробовать выполнить другую операцию — разделить то же самое число 768 не на 8, а, скажем, на 16? Да то же самое. Возьмем первые две цифры, посмотрим, какое ближайшее число кратно 16 — это 64. Отнимаем его от 72, получаем 8. К восьмерке приписываем цифру делимого, которую мы еще не задействовали, то есть 8. Пример принимает следующий вид: Да, но 88 на 16 тоже не делится! Во всяком случае, без остатка. Что ж, тогда поступаем так: Можно, конечно, больше ничего не делать и записать ответ как 45 (остаток 8). Но есть и другие варианты решения. Если бы число было четырехзначным — все оказалось бы куда проще! А почему бы и не превратить его в четырехзначное? Представим, что делимое у нас записано иначе — 768,0. Тогда мы можем после пятерки тоже поставить запятую и превратить целое число в десятичную дробь. В данном случае она конечна, но бывают примеры и с бесконечными дробями. Вот что получается:

Деление меньшего числа на большее

А можно ли в столбик разделить меньшее число на большее? Ничто не помешает это сделать. Вообще-то арифметика — это веселая и увлекательная игра со своими правилами. Главное — учимся соблюдать порядок. Итак, пробуем быстро разделить 36 на 540. Записываем выражение так: Поскольку первое число меньше второго, то и результат будет меньше единицы, то придется иметь дело с нулями. Объяснение простое: частное показывает, сколько раз делитель укладывается в делимое. Если нисколько — значит, результат начинается с нуля: А дальше действуем, как в предыдущих примерах: Числа в столбике начинают повторяться, то есть получается бесконечная десятичная дробь.

Как проверить результат деления?

Результат, как и всегда, проверяется умножением. Если остатка не было, просто перемножаем частное и делитель любым удобным способом — кстати, умножать в столбик тоже удобно. Если делить нацело не получилось, опять же, перемножаем частное и делитель, а затем прибавляем остаток.

Важно! Если результатом получилась бесконечная десятичная дробь, проверка может быть лишь приблизительной — в результате умножения у вас должно получиться число, очень близкое к делимому.

Эти навыки очень помогут потом, когда придется считать не числа, обозначенные цифрами, а действовать в мире одночленов и многочленов. Ведь полиномы — это тоже числа, только выраженные иначе. Еще больше наглядных примеров деления в столбик смотрите в предложенном ниже видео.

Как делить в столбик | BeginPC.ru

В настоящее время современные технологии развиваются стремительными темпами, и все больше работы за нас выполняют компьютеры и различные другие электронные устройства. Тем не менее, умение выполнять арифметические операции без помощи калькулятора остаются все еще востребованными.

Ранее мы уже рассматривали, как складывать, вычитать и умножать в столбик на листе бумаги. Поэтому сегодня давайте освежим в памяти, а возможно кто-то узнает впервые алгоритм деления столбиком без калькулятора. В этом нет ничего сложного, главное внимательность и аккуратность.

Для начала запомним, что число которое делится называется делимое. Число на которое делят называют делителем, а результат деления частным. Чтобы было проще, давайте рассмотрим деление в столбик на конкретном примере и разделим 834 на 6. Первое что нам необходимо сделать, это записать их соответствующим образом.

Пишем делимое, затем правее него делитель и отделяем их друг от друга так называемым уголком. Все подготовительные операции выполнены и переходим непосредственно к делению в столбик.

Для этого необходимо в делимом двигаясь слева на право найти наименьшее число большее или равное делителю. Делитель у нас равен 6, а первая цифра в делителе равна 8 и она больше 6. Теперь необходимо найти сколько целых раз делитель помещается в неполном делимом, в данном случае всего один раз. Поэтому под делителем пишем 1, а под 8 записываем 6 проводим горизонтальную черту и находим их разность по правилам вычитания столбиком, то есть 2. Поскольку 2 меньше нашего делителя (6), то все сделано правильно, в противном случае, где то допущена ошибка.

Теперь сносим вниз следующую цифру исходного делимого (3) и проверяем чтобы получившееся число (23) было больше делителя (6). В данном случае это так. Снова находим сколько раз делитель помещается в неполном делимом, получается 3 раза. Поэтому под делителем записываем 3, а под делимым находим разность 23 и 18 (6*3), которая равна 5.

Дальше делаем все точно также, сносим вниз следующее число из делимого (4), получается число 54 и находим сколько раз в нем умещается делитель (6). Он умещается 9 раз, значит под делителем записываем 9, а под неполным делимым 54 (6*9). Поскольку 54 отнять 54 равно нулю и в делимом не осталось больше чисел, то деление закончено и частное равно 139. Можете проверить на калькуляторе или выполнив умножение в столбик 6 на 139.

Чтобы закрепить навык деления столбиком давайте рассмотрим еще один пример и разделим 1587 на 23. Согласно уже известному нам алгоритму находим в делимом наименьшее число большее или равное делителю, таким числом является 158. Делитель 23 умещается в неполном делимом 6 раз. Соответственно под делителем пишем 6, а под делимым 138 (23*6) и находим разность 158 и 138.

Поскольку 20 меньше делителя все сделано правильно, теперь сносим вниз следующее число (7) и находим сколько раз умещается делитель в получившемся числе 207. Он умещается 9 раз, а поскольку 207-207=0 и в делимом больше нет чисел, то деление в столбик законченно и ответ равен 69.

Как видите, ничего особо сложного нет, главное внимательность. Хотя внимательный читатель наверняка уже обратил внимание, что в обоих приведенных примерах делитель помещается в делимом целое число раз. Однако так бывает далеко не всегда, поэтому рассмотрим пример деления столбиком с остатком, для этого разделим 46 на 8.

Поскольку 4 меньше 8, то наименьшим неполным делимым является 46. В числе 46 делитель содержится 5 раз, следовательно под делителем пишем 5, а под делимым 40 (5*8).

Разность 46 и 40 равна 6. Число 6 меньше делителя, значит мы все сделали верно, но в делимом больше не осталось чисел, а разность не равна 0. Это значит, что разделить эти два числа без остатка нельзя. Чтобы найти остаток поступаем следующим образом. В разности ставим запятую, а к остатку приписываем 0. В остатке имеем число 60. Делитель умещается в нем 7 раз, значит пишем в разность 7 и вычитаем из 60 число 56 (8*7).

В остатке имеем 4, снова приписываем 0. Получается 40 и делитель умещается в нем 5 раз. В частное записываем 5 и вычитаем из остатка 40, получается 0.

Таким образом, мы разделили 46 на 8 столбиком и получили ответ 5,75. Теперь вы знаете, как делить в столбик без калькулятора. Кстати в Windows есть встроенный калькулятор «Пуск» ⇒ «Стандартные» ⇒ «Калькулятор», в котором всегда можно быстро выполнить необходимые вычисления.

Деление столбиком — LoveGDZ

• 1 класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Английский Язык
  • Информатика
  • Окружающий мир
  • Литература
• 2 класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык
  • История
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Окружающий мир
  • Литература
• 3 класс
  • Русский язык
  • Математика
  • Английский язык
  • История
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Окружающий мир
  • Литература
• 4 класс
  • Русский язык
  • Математика
  • Английский язык
  • История
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Окружающий мир
  • Литература
• 5 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Биология
  • География
  • ОБЖ
  • Обществознание
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Литература
  • Физика
  • Окружающий мир
  • История
• 6 класс
  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык
  • История
  • Обществознание
  • Информатика
  • Литература
  • Биология
  • Химия
  • Физика
  • Немецкий язык
  • География
  • ОБЖ
• 7 класс
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Алгебра
  • Химия
  • Геометрия
  • Физика
  • Литература
  • Биология
  • Информатика
  • География
  • История
  • Обществознание
  • Немецкий язык
  • ОБЖ
• 8 класс
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
  • Химия
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Литература
  • ОБЖ
  • Биология
  • География
  • История
  • Обществознание
• 9 класс
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
  • Химия
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Литература
  • География
  • ОБЖ
  • Биология
  • История
  • Обществознание
• 10 класс
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Алгебра

Long Division — Введение

Long Division легко, , как только вы получите идею .
Надеюсь, что некоторые из этих страниц будут «кликать» с вами, и вы станете мастером!

Почему Long Division

Простейший способ деления — повторное вычитание :

Пример: что такое 48/12?

• Начнем с 48, вычтем 12, получим 36
• Повтор: 36-12 = 24
• Повтор: 24-12 = 12
• Повтор: 12-12 = 0

Мы сделали 4 вычитания, поэтому 48/12 = 4

Но это может занять много времени для чего-то вроде 3768/12

Пример: что такое 3768/12?

• Начнем с 3768, вычтем 12, получим 3756
• Повтор: 3756-12 = 3744
• Повтор: 3744-12 = 3732
• Повтор: 3732-12 = 3720
• .. о нет! Это займет много времени!

Может быть, мы могли бы сделать 100 вычитаний за один раз

• Начнем с 3768, вычтем из 100 лотов из 12 , получим 3768-1200 = 2568
• Повтор: 2568-1200 = 1368
• Повтор: 1368-1200 = 168

Теперь давайте перейдем к 10 вычитаниям за один раз.

• 168, вычитаем из 10 лотов из 12 , получаем 168-120 = 48

Теперь давайте перейдем к синглу:

• 48, отнимем 12, получим 36
• Повтор: 36-12 = 24
• Повтор: 24-12 = 12
• Повтор: 12-12 = 0

Итак, мы сделали 3 лота из 100 , 1 лот из 10 и 4 отдельных вычитания из 12, что в сумме составляет 314 вычитаний из 12

, т. 3768/12 = 314

Это идея за длинным дивизионом

Длинное деление выглядит так:

0314
12) 3768
0
37
36
16
12
48
48
0

Поначалу это может показаться немного странным, но видите ли вы «3768» в верхней части?

А затем «12» слева и фактический ответ «314» вверху.

Это показывает, что мы разработали 3768/12 = 314

• Теперь посмотрите на «36»: вот где мы взялись за 100s (3 × 12 = 36)
• И чуть ниже это «12», где мы сделали 10s (1 × 12 = 12)
• А внизу находится «48» (4 × 12 = 48)

Итак, мы взяли 100, затем 10, затем единицы, как и выше.

А «0» внизу означает, что после всех вычитаний ничего не осталось.

Продолжайте и узнайте, как сделать это самостоятельно!

Понимание Long Division

Long Division

Практика

Продвинутый

,

полиномов — длинное деление

Полином выглядит так:

пример полинома у этого есть 3 условия

Деление

Полиномы иногда можно разделить, используя простые методы, показанные в разделе Деление полиномов.

Но иногда лучше использовать «длинное деление» (метод, аналогичный длинному делению чисел)

Числитель и Знаменатель

Мы можем дать каждому многочлену имя:

• , вершина , полином , числитель , ,
.
• , полис , полином , знаменатель , ,

Если у вас проблемы с запоминанием, подумайте, что знаменатель — это знаменатель , а не .

метод

Запишите аккуратно:

• знаменатель идет первым,
• тогда «)»,
• то числитель с линией выше

Оба полинома должны иметь сначала термины «высшего порядка» (те, которые имеют наибольшие показатели, например «2» в x ² ).

Тогда:

	Разделите первый член числителя на первый член знаменателя и укажите это в ответе. Умножьте знаменатель на этот ответ, поместите его ниже числителя Отнимите, чтобы создать новый полином
	Повторите , используя новый полином

Проще показать на примере!

Пример:

Запишите его аккуратно, как показано ниже, а затем решите его постепенно (нажмите кнопку воспроизведения):

Проверьте ответ:

Умножьте ответ на нижний полином, мы должны получить верхний полином:

Остатки

Предыдущий пример работал отлично, но это не всегда так! Попробуйте это:

После деления у нас осталось «2», это «остаток».

Остаток — это то, что осталось после деления.

Но у нас все еще есть ответ: поместите остаток , разделенный на нижний полином , как часть ответа, как это:

«Пропавшие» условия

Могут быть «пропущенные термины» (пример: может быть x ³ , но не x ² ). В этом случае либо оставьте пробелы, либо включите пропущенные члены с нулевым коэффициентом.

Пример:

Запишите это с коэффициентами «0» для пропущенных терминов, затем решите это нормально (нажмите play):

Посмотрите, как нам нужно место для «3x ³ «?

Более одной переменной

До сих пор мы делили полиномы только с одной переменной ( x ), но мы можем обрабатывать полиномы с двумя или более переменными (например, x и y ), используя один и тот же метод.

Пример:

,

Long Division — Википедия переиздано // WIKI 2

Стандартный алгоритм деления для многозначных чисел

В арифметике длинное деление — это стандартный алгоритм деления, подходящий для деления многозначных чисел, который достаточно прост для выполнения вручную. Это разбивает проблему деления на ряд более простых шагов.

Как и во всех задачах деления, одно число, называемое дивидендом, делится на другое, называемое делителем, в результате чего получается результат, называемый частным.Это позволяет выполнять вычисления с использованием сколь угодно больших чисел, выполняя ряд простых шагов. ^[1] Сокращенная форма длинного деления называется коротким делением, которое почти всегда используется вместо длинного деления, когда делитель имеет только одну цифру. Чанкинг (также известный как метод частичных отношений или метод Палача) — это менее механическая форма длинного деления, известная в Великобритании, которая способствует более целостному пониманию процесса деления. ^[2]

Хотя связанные алгоритмы существуют с 12-го века нашей эры, ^[3] конкретный алгоритм в современном использовании был введен Генри Бриггс c. 1600 н.э. ^[4]

Энциклопедия YouTube

• 1/3

  Просмотров:

  834 706

  22 405

  1 222 892

• ✪ Длинный трюк с делением — быстрый расчет!

• ✪ Другой способ сделать длинное деление — математика легко

• Ant Математические выходки — десятичная арифметика

Содержание

место в образовании

Недорогие калькуляторы и компьютеры стали наиболее распространенным способом решения проблем деления, устраняя традиционные математические упражнения и уменьшая образовательную возможность показать, как это сделать с помощью методов бумаги и карандаша.(Внутренне эти устройства используют один из множества алгоритмов деления, более быстрые из которых основаны на аппроксимациях и умножениях для решения задач). В Соединенных Штатах, долгое разделение было особенно предназначено для снижения акцента, или даже исключения из школьной программы, реформатской математикой, хотя традиционно вводится в 4-х или 5-х классах. ^[5]

Метод

В англоязычных странах длинное деление не использует косую черту⟩ ∕⟩ или знак деления ⟨÷⟩, а вместо этого создает таблицу . ^[6] Делитель отделен от делимого правой круглой скобкой ⟨)⟩ или вертикальной чертой ⟨|⟩; дивиденд отделяется от фактора винкулюмом (то есть надстрочным элементом). Комбинация этих двух символов иногда называется символом с длинным делением или скобкой с делением . ^[7] Он возник в 18 веке из более ранней однострочной записи, отделяющей дивиденд от частного с помощью левой круглой скобки. ^{[8] [9]}

Процесс начинается с деления самой левой цифры дивиденда на делитель.Частное (округленное до целого числа) становится первой цифрой результата, а остаток вычисляется (этот шаг записывается как вычитание). Этот остаток переносится вперед, когда процесс повторяется со следующей цифрой дивиденда (обозначается как «понижение» следующей цифры до остатка). Когда все цифры были обработаны, а остатка не осталось, процесс завершен.

Ниже показан пример, представляющий деление 500 на 4 (с результатом 125).

  125  (Пояснения)
   4) 500
       4  (4 × 1 = 4)
     10 (5 - 4 = 1)
        8  (4 × 2 = 8)
      20 (10 - 8 = 2)
        20  (4 × 5 = 20)
       0 (20 - 20 = 0)
 

Пример длинного деления без калькулятора.

Более подробная разбивка шагов выглядит следующим образом:

1. Найдите самую короткую последовательность цифр, начиная с левого конца делимого, 500, в которую делитель 4 входит хотя бы один раз.В данном случае это просто первая цифра 5. Самое большое число, на которое можно умножить делитель 4, не превышая 5, равно 1, поэтому цифра 1 ставится выше 5, чтобы начать построение частного.
2. Затем 1 умножается на делитель 4, чтобы получить наибольшее целое число, кратное делителю 4, не превышая 5 (в данном случае 4). Эта 4 затем помещается под 5 и вычитается из 5, чтобы получить остаток 1, который находится под 4 под 5.
3. После этого первая еще неиспользованная цифра в дивиденде, в данном случае первая цифра 0 после 5, копируется непосредственно под собой и рядом с остальной частью 1, чтобы сформировать число 10.
4. В этот момент процесс повторяется достаточно много раз, чтобы достичь точки остановки: наибольшее число, на которое делитель 4 можно умножить, не превышая 10, равно 2, поэтому 2 записывается выше как вторая крайняя слева цифра. Это 2 затем умножается на делитель 4, чтобы получить 8, которое является наибольшим кратным 4, которое не превышает 10; так что 8 записано ниже 10, и вычитание 10 минус 8 выполняется, чтобы получить остаток 2, который находится ниже 8.
5. Следующая цифра дивиденда (последние 0 из 500) копируется непосредственно под собой и рядом с оставшейся частью 2, образуя 20.Затем наибольшее число, на которое можно умножить делитель 4, не превышая 20, то есть 5, помещается выше в качестве третьей самой левой частной цифры. Это 5 умножается на делитель 4, чтобы получить 20, которое записано ниже и вычтено из существующих 20, чтобы получить остаток 0, который затем записывается ниже второго 20.
6. В этот момент, так как больше нет цифр для уменьшения из дивиденда и последний результат вычитания был равен 0, мы можем быть уверены, что процесс завершен.

Если бы последний остаток, когда у нас заканчивались цифры дивидендов, был чем-то отличным от 0, было бы два возможных варианта действий:

1. Мы могли бы просто остановиться на этом и сказать, что дивиденд, деленный на делитель, представляет собой частное, записанное сверху, а остаток внизу, и написать ответ как частное, за которым следует дробь, являющаяся остатком, деленным на делитель. ,
2. Мы могли бы увеличить дивиденд, написав его, скажем, 500.000 … и продолжить процесс (используя десятичную точку в частном прямо над десятичной точкой в ​​дивиденде), чтобы получить десятичный ответ, как в следующем примере.

  31,75 
   4) 127.00
       12  (12 ÷ 4 = 3)
      07 (0 остаток, опустить следующую цифру)
         4  (7 ÷ 4 = 1 р 3)
       3.0 (сбить 0 и десятичную точку)
         2.8  (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 р 2)
         20 (дополнительный ноль сбит)
           20  (5 × 4 = 20)
          0
 

В этом примере десятичная часть результата вычисляется путем продолжения процесса за цифрой единиц измерения, «сбрасывая» нули как десятичную часть дивиденда.

Этот пример также иллюстрирует, что в начале процесса этап, который производит ноль, может быть опущен. Поскольку первая цифра 1 меньше делителя 4, вместо этого выполняется первый шаг для первых двух цифр 12.Точно так же, если бы делителем было 13, можно было бы выполнить первый шаг на 127, а не на 12 или 1.

Основная процедура для длительного деления n ÷ м

1. Найти расположение всех десятичных точек в делимом n и делителе m .
2. При необходимости упростите задачу длинного деления, переместив десятичные дроби делителя и делимого на одинаковое количество десятичных разрядов вправо (или влево), чтобы десятичная дробь делителя находилась справа от последнего цифра.
3. Делая длинное деление, держите числа выровненными прямо сверху вниз под таблицей.
4. После каждого шага убедитесь, что остаток для этого шага меньше делителя. Если это не так, возможны три проблемы: неправильное умножение, неправильное вычитание или необходим больший коэффициент.
5. В конце, остаток, r , добавляется к коэффициенту роста как фракция, r / m .

Пример с многозначным делителем

Анимированный пример многозначного длинного деления

Можно использовать делитель любого количества цифр.В этом примере 1260257 нужно разделить на 37. Сначала проблема устанавливается следующим образом:

  
    37) 1260257
 

Цифры числа 1260257 берутся до тех пор, пока не появится число, большее или равное 37. Таким образом, 1 и 12 меньше 37, а 126 больше. Затем вычисляется наибольшее кратное из 37, меньшее или равное 126. Таким образом, 3 × 37 = 111 <126, но 4 × 37> 126. Множество 111 написано под 126, а 3 написано сверху, где появится решение:

  3 
    37) 1260257
       111
 

Внимательно обратите внимание, в какой столбец значений места записаны эти цифры.3 в частном случае идет в том же столбце (десяти тысячном месте), что и 6 в дивиденде 1260257, то есть в том же столбце, что и последняя цифра 111.

Затем 111 вычитается из строки выше, игнорируя все цифры справа:

  3 
    37) 1260257
         111 
        15
 

Теперь цифра от следующего меньшего значения места дивиденда копируется вниз и добавляется к результату 15:

  3 
    37) 1260257
         111 
        150
 

Процесс повторяется: вычитается наибольшее кратное из 37, меньшее или равное 150.Это 148 = 4 × 37, так что 4 добавляется к вершине как следующая частная цифра. Затем результат вычитания увеличивается еще на одну цифру, взятую из дивиденда:

  34 
    37) 1260257
         111 
        150
          148 
          22
 

Наибольшее значение, кратное 37, меньшему или равному 22, равно 0 × 37 = 0. Вычитая 0 из 22, получаем 22, мы часто не записываем шаг вычитания. Вместо этого мы просто берем еще одну цифру из дивиденда:

  340 
    37) 1260257
         111 
        150
          148 
          225
 

Процесс повторяется до тех пор, пока 37 точно не разделит последнюю строку:

  34061 
    37) 1260257
         111 
        150
          148 
          225
            222 
            37
 

Смешанный режим с длинным делением

Для недесятичных валют (таких как британская система sd до 1971 года) и мер (таких как Avirirdupois) необходимо использовать смешанный режим деления .Рассмотрим деление 50 миль на 600 ярдов на 37 частей:

 миль - фут - фут - дюйм
        1 - 634 1 9 р. 15 "
    37) 50 - 600 - 0 - 0
            37   22880   66   348 
          13 23480 66 348
          1760   222   37   333 
       22880 128  29  15
       =====  111  348 ==
                  170 ===
                    148 
                     22 
                   66
                   ==
 

Каждый из четырех столбцов работает по очереди.Начиная с миль: 50/37 = 1 остаток. возможно, поэтому выполните длинное умножение на 1760, чтобы преобразовать мили в ярды, в результате получается 22 880 ярдов. Несите это к вершине колонки ярдов и добавьте это к 600 ярдам в дивиденде, дающем 23 480. Длинное деление 23 480/37 теперь происходит как обычно, давая 634 с остатком 22. Остаток умножается на 3, чтобы получить ноги, и переносится в столбец ног. Длинное деление ног дает 1 остаток 29, который затем умножается на двенадцать, чтобы получить 348 дюймов.Длинное деление продолжается с последним 15-дюймовым показателем в строке результата.

Интерпретация десятичных результатов

Когда частное не является целым числом и процесс деления выходит за пределы десятичной точки, может произойти одно из двух:

1. Процесс может завершиться, что означает, что достигнут остаток от 0; или
2. Остаток может быть достигнут, который идентичен предыдущему остатку, который возник после того, как были записаны десятичные знаки.В последнем случае продолжать процесс было бы бессмысленно, поскольку с этого момента одна и та же последовательность цифр будет появляться в частном числе снова и снова. Таким образом, над повторяющейся последовательностью отображается полоса, указывающая, что она повторяется вечно (то есть каждое рациональное число является либо десятичным, либо завершающим, либо повторяющимся).

Система обозначений в неанглоязычных странах

Китай, Япония, Корея используют те же обозначения, что и англоязычные страны, включая Индию. В других местах используются одни и те же общие принципы, но цифры часто располагаются по-разному.

Латинская Америка

В Латинской Америке (за исключением Аргентины, Боливии, Мексики, Колумбии, Парагвая, Венесуэлы, Уругвая и Бразилии) расчеты практически одинаковы, но записаны по-разному, как показано ниже, с теми же двумя примерами, использованными выше. Обычно частное записывается под полосой, нарисованной под делителем. Длинная вертикальная линия иногда проводится справа от расчетов.

 500 ÷ 4 = 125 (пояснения)
       4  (4 × 1 = 4)
     10 (5 - 4 = 1)
        8  (4 × 2 = 8)
      20 (10 - 8 = 2)
        20  (4 × 5 = 20)
       0 (20 - 20 = 0)
 

и

 127 ÷ 4 = 31.75
       124 
       30 (снизьте 0; десятичное к частному)
         28  (7 × 4 = 28)
        20 (добавлен дополнительный ноль)
          20  (5 × 4 = 20)
          0
 

В Мексике используется англоязычная система обозначений мира, за исключением того, что аннотируется только результат вычитания, а расчет выполняется мысленно, как показано ниже:

  125  (Пояснения)
   4) 500
     10 (5 - 4 = 1)
      20 (10 - 8 = 2)
       0 (20 - 20 = 0)
 

В Боливии, Бразилии, Парагвае, Венесуэле, Квебеке, Колумбии и Перу используется европейское обозначение (см. Ниже), за исключением того, что частное не разделено вертикальной линией, как показано ниже:

 127 |  4 
   -  124  31,75
      30
     -  28 
       20
      -  20 
        0
 

Та же процедура применяется в Мексике, Уругвае и Аргентине, аннотируется только результат вычитания, а расчет делается мысленно.

Евразия

В Испании, Италии, Франции, Португалии, Литве, Румынии, Турции, Греции, Бельгии, Беларуси, Украине и России делитель находится справа от дивиденда и разделен вертикальной чертой. Деление также происходит в столбце, но частное (результат) записывается под делителем и разделяется горизонтальной линией. Этот же метод используется в Иране и Монголии.

 127 |  4 
   -  124  | 31,75
      30
     -  28 
       20
      -  20 
        0
 

На Кипре, как и во Франции, длинная вертикальная черта отделяет дивиденды и последующие вычитания от коэффициента и делителя, как в примере ниже 6359, деленное на 17, то есть 374 с остатком 1.

6	3	5	9	17
— 5	1			374
1	2	5
— 1	1	9
		6	9
	—	6	8
			1

Десятичные числа не делятся напрямую, деление и делитель умножаются на степень десяти, так что деление включает в себя два целых числа.Следовательно, если делить 12,7 на 0,4 (вместо десятичных запятых используются запятые), дивиденд и делитель сначала изменятся на 127 и 4, а затем деление будет выполнено, как указано выше.

В Австрии, Германии и Швейцарии используется нотационная форма нормального уравнения. : = , с двоеточием »:« обозначает двоичный инфиксный символ для оператора деления (аналогично «/» или «÷»). В этих регионах десятичный разделитель записывается в виде запятой.(см. первый раздел стран Латинской Америки выше, где это делается практически так же):

 127: 4 = 31,75
   -  12 
     07
     -  4 
      30
     -  28 
       20
      -  20 
        0
 

Такие же обозначения приняты в Дании, Норвегии, Болгарии, Северной Македонии, Польше, Хорватии, Словении, Венгрии, Чехии, Словакии, Вьетнаме и в Сербии.

В Нидерландах используются следующие обозначения:

 12/135 \ 11,25
          12 
         15
           12 
          30
            24 
           60
             60 
            0
 

Алгоритм произвольной базы

Каждое натуральное число N {\ displaystyle n} может быть уникально представлен в произвольной числовой базе б > 1 {\ displaystyle b> 1} как последовательность цифр N знак равно α 0 α 1 α 2 ,{К-я-1}}

лет N {\ displaystyle n} быть дивидендом и м {\ displaystyle m} быть делителем, где L {\ displaystyle l} это количество цифр в м {\ displaystyle m} , Если К < L {\ displaystyle k

за каждую итерацию я {\ displaystyle i} , позволять Q я {\ displaystyle q_ {i}} быть коэффициентом, извлеченным до сих пор, d я {\ displaystyle d_ {i}} быть промежуточным дивидендом, р я {\ displaystyle r_ {i}} быть промежуточным остатком, α я {\ displaystyle \ alpha _ {i}} быть следующей цифрой исходного дивиденда, и β я {\ displaystyle \ beta _ {i}} быть следующей цифрой частного.По определению цифр в базе б {\ displaystyle b} , 0 ≤ β я < б {\ displaystyle 0 \ leq \ beta _ {i}