Задачки с числами
Загаданные учителем числа были 2 и 9. Ниже приведена вся логическая цепочка рассуждений. (Примечание: Если приведённое ниже решение кажется Вам не совсем понятным, то чуть ниже Вы найдёте более детальный анализ логоритма решения задачи на примере двух числовых комбинаций.)Итак, необходимо определить два натуральных числа больше 1(единицы). Первый студент знает их произведение, а второму известна их сумма. Нам известно, что сумма задуманных чисел меньше 14 , поэтому рассмотрим следующие варианты:
2 2 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 3 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 4 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 5 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 6
2 7 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 8
2 10
2 11 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 3 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 4
3 5 — – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 6
3 7 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 8 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14 (например, 2+12).
3 9 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
4 4
4 5
4 6 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
4 7 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
4 8 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
5 5 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
5 6 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
5 7 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
5 8 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
6 7 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
Итак, остаются следующие вероятные комбинации, которые рассмотрим более подробно:
2 6 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат (8), чтобы перемножив эти слагаемые (например, 4х4), Вы получили бы произведение (16), другие возможные множители которого в сумме дают больше 14 (например, 2+8= 10).
2 9
2 10
3 4 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат, чтобы перемножив эти слагаемые, Вы получили бы произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14.
3 6 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат, чтобы перемножив эти слагаемые, Вы получили бы произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14.
4 5 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат, чтобы перемножив эти слагаемые, Вы получили бы произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14.
Второй студент (которому была известна сумма загаданных чисел) знал, что первому студенту (которому было известно произведение загаданных чисел) неизвестна сумма чисел, и думал, что первому студенту неизвестно, что сумма чисел меньше 14.
Остаются только три вероятные комбинации:
2 8 – произведение =16, сумма =10
2 9 – произведение=18, сумма=11
2 10 – произведение=20, сумма=12
Отбросим суммы, которые образуются путем сложения уникальных комбинаций чисел – если известно такое произведение чисел, при котором сумма очевидна (мы могли бы и гораздо раньше оговорить этот момент, но тогда потерялась бы вся прелесть головоломки) – потому что второй студент знал, что известная ему сумма точно не из этой комбинации чисел. Таким образом, сумма не может быть равна 10 (из-за 7 и 3, при которых произведение 21 явно выдаст эти числа). Второй студент знает, что первому студенту сумма неизвестна, но если бы сумма была бы равна 10, то первый студент знал бы сумму, если бы комбинация чисел была 7 и 3. Аналогичным способом отбрасываем сумму 12 (из-за 5 и 7, при умножении выдающие себя в уникальном произведении 35).
И остается только один вариант – числа 2 и 9. Задача решена.
Если приведённое выше решение кажется Вам не совсем понятным, то сейчас мы разберм более детально основной логоритм решения задачи на примере двух числовых комбинаций.
Возьмём числа 6 и 2 и посмотрим, сработает ли такая комбинация.
Первому студент известно произведение, а второму известна сумма этих чисел.
Первый: «Я не знаю сумму.»
Известное мне произведение равно 12, а получить такое произведение можно так: либо 6х2, либо 3х4. Значит, второму известна сумма, равная либо 8, либо 7.
Второй: «Я знал, что ты не знаешь. Сумма меньше 14.»
Известная мне сумма равна 8, а получить такую сумму можно, сложив 6+2, 5+3 или 4+4. Первый вариант слагаемых даст произведение 12, второй – 15, третий – 16.
Произведение, равное 15 можно сразу вычеркнуть (то есть вариант с числами 5 и 3 отбросить), потому что 15-число уникальное – его можно получить исключительно через натуральные числа 5 и 3, так что будь это именно такая комбинация чисел, студенту были бы известны и произведение, и сумма с самого начала.
Рассмотрим произведение 16. Его можно получить, если множители – либо 4х4, либо 8х2. В этом случае фраза, что сумма этих множителей представляла бы собой число <14, другому студенту никак не поможет (4+4 и 8+2 <14).
Рассмотрим произведение 12. В этом случае студент будет рассчитывать на то, что возможные комбинации чисел – это 4х3 или 6х2. Но и в этом случае фраза, что сумма этих множителей представляла бы собой число <14, другому студенту никак не поможет (4+3 и 6+2 <14).
Следовательно, невозможно подобрать такую комбинацию чисел, составляющих в сумме число 8, где другие слагаемые, дающие ту же сумму, если их перемножить, дадут произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14. Например, если это 4 и 4, то нет такой суммы из возможных других множетелей произведения 4х4, которые в сумме дали бы число больше 14 (2+8=10).
Первый: «Теперь я знаю эти числа.»
Я не знал, то ли это 6х2, то ли это 3х4, а второй студент говорит мне, что сумма меньше 14. Но это абсолютно очевидно, что он подумал, что из суммы, равной 8 или 7, можно найти такой вариант слагаемых, произведение которых послужит суммой, которая должна быть больше 14.
Но мне его слова абсолютно не помогли, потому что 6+2 и 3+4 в любом случае меньше 14. Таким образом, комбинация чисел 6 и 2 неверна.
Теперь возьмём числа 9 и 2 и посмотрим, подходит ли такая комбинация.
Первому студент известно произведение, а второму известна сумма этих чисел.
Значит, первому известно произведение 18, а второму – сумма 11.
Первый: «Я не знаю сумму.»
Известное мне произведение равно 18, а получить такое произведение можно так: 9х2 или 6х3. Значит, второму известна сумма, равная либо 11, либо 9.
Второй: «Я знал, что ты не знаешь. Сумма меньше 14.»
Известная мне сумма равна 11, а получить такую сумму можно, сложив 9+2, 8+3, 7+4 или 6+5. Первый вариант слагаемых даст произведение 18, второй – 24, третий – 28, четвёртый – 30.
Если первому студенту известно произведение, равное 18, то он будет рассматривать варианты комбинаций: 9х2 и 6х3, поэтому если я скажу ему, что сумма должна быть меньше 14, это подскажет ему, что у меня есть и другая вероятность, при которой сумма будет больше либо равна 14. Так оно и есть (см три следующих абзаца): 12+2, 14+2 и 15+2.
Если первому студенту известно произведение, равное 24, то он будет рассматривать варианты комбинаций 6х4, 8х3 и 12х2, но 12+2 – это уже 14, так что если произведение, известное первому студенту, было бы 24, то он не мог бы быть абсолютно уверен, что сумма будет меньше 14.
Если первому студенту известно произведение, равное 28, то он будет рассматривать варианты комбинаций 7х4 или 14х2, но 14+2=16, так что если произведение, известное первому студенту, было бы 28, то он не мог бы быть абсолютно уверен, что сумма будет меньше 14.
Если первому студенту известно произведение, равное 30, то он будет рассмтривать варианты комбинаций 5х6, 10х3 и 15х2, но 15+2=17, так что если произведение, известное первому студенту, было бы 30, то он не мог бы быть абсолютно уверен, что сумма будет меньше 14.
Первый: «Теперь я знаю эти числа.»
Я не знал, то ли это 9х2, то ли это 6х3, а второй студент говорит мне, что сумма меньше 14. Должно быть, у него были варианты с суммой ≥14, но это невозможно для суммы 9, полученной с помощью комбинации из 6 и 3. Следовательно, известная ему сумма равна 11, и получена она путем сложения 9 и 2.
Домики с числами
Домики с числами в тестах iq — одна из форм оформления заданий на определение числовых закономерностей.
Числовую закономерность, по которой находится число в круглом окне, определяем из первого домика. Затем эту закономерность надо приметить к числам во втором домике. Связь между числами может быть любая: их можно складывать, вычитать, делить, умножать, возводить в степень, извлекать корень, находить их среднее арифметическое и т. д.
Рассмотрим несколько примеров на домики с числами.
1) Вставить недостающее число:
Вставить недостающее число
Варианты для выбора: 2, 4, 6, 9, 12, 13, 15
Показать решение
Ответ: 2Суммы чисел по горизонтали и вертикали равны: 7+9=11+5. Так как 4+8=12, то, чтобы получить 12, к 10 надо прибавить 2.
2) Дополнить правильное число:
Дополнить правильное число
Показать решение
Ответ: 2.Произведения чисел по горизонтали и по вертикали равны: 4·6=3·8. Значит, поскольку 4·9=36, 18 надо умножить на 2.
3) Вставить нужное число:
Вставить нужное число
Показать решение
Ответ: 10.Произведение по горизонтали равно сумме по вертикали: 2·9=10+8. Поскольку 3·7=21, то, чтобы получить 21, к 11 нужно прибавить 10.
4) Дополнить правильное число:
Дополнить правильное число
Показать решение
Ответ: 13.Число в круглом окошке получено как среднее арифметическое остальных чисел:
Соответственно, таким же образом ищем число во втором домике:
5) Найти и вставить пропущенное число:
Найти и вставить пропущенное число
Показать решение
Ответ: 10.Число в окошке первого домика есть квадратный корень из произведения остальных чисел:
Аналогично,
6) Найти пропущенное число:
Найти пропущенное число
Показать решение
Ответ: 75Число в окошке первого домика получено как сумма цифр в остальных окошках, умноженная на 5: (7+2+4)·5=65. Аналогично находим и число в круглом окошке второго домика: (3+4+8)·5=75.
7) Какое число нужно вставить?
Какое число нужно вставить?
Показать решение
Ответ: 17.
Аналогично находим неизвестное число:
8) Какое число пропущено?
Какое число пропущено?
Показать решение
Ответ: 10.
Отсюда находим пропущенное число:
9) Какого числа не хватает?
Какого числа не хватает?
Показать решение
Ответ: 20.Закономерность: 7·2=14, 8·2=16. Отсюда, так как 4·2=8, находим недостающее число: 10·2=20.
10) Какое число пропущено?
Какое число пропущено?
Показать решение
Ответ: 400.
Как видите, зависимости между числами могут быть самыми разными. Чтобы научиться видеть числовые закономерности, нужна практика. Самый быстрый и действенный способ развить свои навыки — не только решать задачи, но и придумывать свои. Попрактикуйтесь, и вы поймете, насколько эффективен такой подход.
Если вы стремитесь развить способности своего ребенка, приобщайте его к решению логических задач. Предложите ему сначала поработать с готовыми задачами, помогите, если у него возникли затруднения. А затем предложите ему составить свои задачи.
Математические головоломки для детей с ответами
Логическое мышление требует постоянного развития. Если вам и вашему ребенку надоело «щелкать» обычные логические задачи, попробуйте разгадать парочку математических головоломок. Какие-то из них требуют реальных «академических» знаний, какие-то решаются при помощи находчивости и умения разбираться в причинных связях, а какие-то просто тренируют внимательность. Не упускайте шанс и устройте мозговой штурм прямо сейчас!
Что такое математические головоломки?
Головоломками принято называть задачи, требующие нестандартных решений, особенного подхода и взгляда «с другой стороны». Они тренируют разные навыки, развивают сообразительность и приносят пользу не только детям, но и взрослым.
Головоломки бывают сложные и простые, в картинках и текстовые, логические и механические (последние обычно представлены в виде «реальных» устройств: кубика Рубика, змейки Рубика и так далее). Математические головоломки традиционно считаются самым древним способом «размять» мозги и «прокачать» собственную интеллектуальную силу. Они также подразделяются по сложности и имеют приблизительный возрастной ценз: одни математические задачи дети решают самостоятельно, а другие – только при помощи взрослых.
Для чего решать головоломки?
Математические головоломки и математические игры для детей отличаются от обычных загадок на логику. Они целенаправленно воздействуют на развитие аналитического склада ума, учат детей вдумчивому счету и грамотному сопоставлению условий и решений. У дошкольников формируются усидчивость и внимательность, вырабатывается навык решения задач и расширяется кругозор. У школьников улучшаются память и настроение – головоломки куда интереснее скучных примеров, которые каждый день задает учитель.
Маленькие победы и успех в решении сложных задач помогают ребенку чувствовать себя увереннее, формируют «здоровую» самооценку и придают сил в решении реальных жизненных «кейсов». А еще они тренируют пространственное мышление и развивают воображение – это помогает ребятам успешно справляться с творческими заданиями.
7 математических головоломок
Давайте приступим к практике и попробуем решить первую головоломку из нашей сегодняшней подборки
Головоломка №1
Задание: Продавец фруктов на рынке решил взвесить яблоко, грушу и гранат. На первую чашу весов он поставил яблоко и гранат, на вторую – грушу: весы достигли равновесия. Затем продавец взвесил три яблока: весы показали цифру 21.
Потом он взвесил все три фрукта вместе: весы показали цифру 26. Как ты думаешь, какую цифру показали весы, когда продавец взвесил два граната?
Подсказка: Смотри на картинку — так тебе будет легче справиться с первой задачей.
Показать ответ
Ответ: Весы показали цифру 12.
Разбираемся подробнее.
Смотрим на первую строчку. Когда продавец положил яблоко и гранат на первую чашу весов, а грушу – на вторую, весы достигли равновесия. Это значит, что вес груши равен весу яблока и граната, вместе взятых.
Смотрим на вторую строчку. Если три яблока весят 21 единицу, то одно яблоко весит 7 единиц: 21/3=7.
Смотрим на третью строчку. Если мы заменим яблоко и гранат на одну грушу (из п.1 мы помним, что они равны по весу), мы узнаем, что две груши весят 26 единиц. Следовательно, одна груша весит 13 единиц.
Теперь мы можем узнать, сколько единиц весит один гранат. Мы знаем, что вес груши равен весу яблока и граната, вместе взятых. Если груша весит 13 единиц, а одно яблоко – 7, то один гранат весит 6 единиц (13 – 7 = 6).
Смотрим на последнюю строчку. Когда продавец взвесил два граната, весы показали цифру 12, потому что 6+6=12.
Мы надеемся, что ты быстро справился с заданием! Тебя уже ждет следующая головоломка.
Головоломка №2
Задание: Петя Чайников склеил кубик. Он несколько раз подкидывал кубик и фотографировал его на столе. А потом пришла Петина младшая сестра Галя и кубик сломала.
Петя сначала расстроился, но потом решил сделать новый кубик, точно такой же. Посмотри на развёртку кубика и на фотографии, которые успел сделать Петя. Можешь ли ты правильно раскрасить все грани кубика? Выбери из вариантов решений правильное.
Показать ответ
Ответ: Для того, чтобы решить эту задачку, тебе нужно представить, как будет выглядеть фигура, если склеить развертку (соединить все грани). Правильный ответ – рисунок Б.
Головоломка №3
Эту задачу, которая называется «Трудное наследство», придумал итальянец по имени Тарталья. Он первым открыл способ решения кубического уравнения.
Задание: Отец оставил трем наследникам-сыновьям следующее завещание: «Поделите семнадцать лошадей, которые есть у нас в хозяйстве, в отношении 1/2 к 1/3 к 1/9». Как выполнить это условие?
Показать ответ
Ответ: Сам Тарталья предложил следующее решение.
Для того чтобы можно было разделить всех имеющихся в хозяйстве лошадей, нужно взять взаймы еще одну лошадь. После этого лошадей у братьев станет не семнадцать, а восемнадцать, и их можно будет разделить согласно завещанию: 18/2=9 лошадей одному брату; 18/3=6 лошадей другому брату, 18/9=2 лошади третьему брату.
Парадокс решения заключается в том, что после такого «деления» останется одна лишняя лошадь, которую братья вначале позаимствовали у другого владельца. Эту лошадь нужно вернуть после раздела имущества. (9+6+2=17, а не 18).
Какой хитрый этот итальянец Тарталья! Но мы-то знаем, что ты его перехитрил вместе с взрослыми. Скорей приступай к решению четвертой головоломки.
Головоломка №4
Задание: Посмотри на ряд букв и продолжи его:
«Р, Д, Т, Ч, П, Ш, С, …».
Показать ответ
Ответ: Этот ряд – простая последовательность. Перед тобой первые буквы счета (Раз, Два, Три, Четыре, Пять, Шесть, Семь). Соответственно, следующими в ряду будут буквы В (Восемь), Д (Девять) и так далее.
Устал? Предлагаем тебе немного отдохнуть и прочитать парочку интересных фактов о головоломках.
Первая книга головоломок в Европе появилась в конце IX века. Автором сборника «Задачи для развития молодого ума» стал ирландский просветитель Алкуин.
Оказывается, умение решать головоломки может пригодиться не только в повседневной жизни, но и на настоящих соревнованиях! С 1992 года проводятся чемпионаты мира по пазлспорту — это интеллектуальный вид состязаний, в котором участники решают задачи на время.
Делу – время, а потехе – час. Сегодня тебе осталось решить две головоломки. Вперед!
Головоломка №5
Задание: Тебе нужно выбрать одну из трех дверей для того, чтобы спастись. За первой дверью – страшный пожар. За второй дверью – голодный лев, который ничего не ел целый год. За третьей дверью – безумный убийца. Какую дверь ты выберешь?
Показать ответ
Ответ: Для того чтобы выжить, нужно выбрать вторую дверь. За ней должен сидеть лев, который не ел целый год. Но это невозможно – «царь зверей» не протянет без пищи и нескольких недель, а уж год — тем более.
Ура! Мы на финишной прямой. Скорее читай осталось всего 2 головоломки.
Головоломка №6
Задание: На стоянке для автомобилей шесть мест. Одно место занято, все остальные места свободны. Каждое парковочное место имеет свой номер. Слева направо идут следующие номера: 16, 06, 68, 88, следующий номер закрывает автомобиль, 98. Какой номер у того парковочного места, на котором стоит автомобиль?
Подсказка: схематично изобрази условие задачи на листочке – так тебе будет проще прийти к правильному ответу.
Источник
Показать ответ
Ответ: номер парковочного места – 87. На самом деле все номера идут по порядку, просто они перевернуты.
Головоломка №7
Перед тобой несколько рядов цифр:
- 6636 / 3
- 8118 / 4
- 2242 / 0
- 3316 / ?
Как ты думаешь, что должно стоять на месте знака вопроса?
Показать ответ
Ответ: На месте знака вопроса должна стоять цифра 1. Для того чтобы получить правильный ответ, тебе нужно посчитать количество кружочков в цифрах слева от линии и написать полученный результат справа.
Мы сегодня отлично позанимались, «поломали» мозги и «прокачали» логику. Теперь ты точно справишься с самыми сложными математическими задачами.
А если возникнут трудности – приходи в Умназию и продолжай развиваться вместе с нами!
Математика и логика для детей 7-13 лет
Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате
узнать подробнеекакая цифра должна быть в пустом треугольнике? :: Инфониак
ТестыНасколько хорошо у вас развита логика?
Есть много задач, тестов и головоломок, которые могут помочь вам развить не только логику, но и способность аналитически мыслить.
Этот тест позволяет развить вашу способность к целенаправленной деятельности, используя ваши навыки распознавания образов, проверки гипотез и логику.
Вот вам одна головоломка, в которой вам предстоит узнать, какая цифра отсутствует в последнем черном треугольнике справа.
Задачи и головоломки
Такие упражнения помогают вам использовать ваши навыки и знания, а также способность организовывать деятельность для достижения назначенной цели.
Читайте также: Задача для 6-летних детей, которую взрослые не могут решить
Посмотреть правильный ответ.
Вечеринка полиглотов
Эта загадка является отличным упражнением, так как лобные доли мозга сформировались последними, и они же первые, которые страдают от времени и стресса. Поэтому очень важно продолжать упражняться.
Читайте также: Только 36 процентов людей могут решить эту загадку: в какой коробке машина?
Сложность: средняя
На вечеринку пришло 100 человек. Из них 90 говорили на испанском, 80 на итальянском и 75 на китайском.
Вопрос:
Как минимум сколько гостей говорили на всех трёх языках?
Если вы пытаетесь решить задачу, придумывая гипотезы, проверяя идеи и пытаясь найти ответ, то вы используете лобные доли мозга, которые отвечают за мышление, мотивацию поступков и построение речи.
Посмотреть правильный ответ.
Ответы:
Ответ к тесту про треугольник: 3.
Пояснение:
Верхняя цифра минус нижняя левая цифра, умножить на нижнюю цифру справа дает вам результат в треугольнике.
Ответ к задаче про полиглотов: 45
Пояснение:
10 человек не говорят на испанском, 20 не говорят на итальянском, и 25 не могут говорить на китайском. Это значит, что на вечеринку пришло 10 людей, которые не говорят ни на одном из этих языков.
Это означает, что количество людей, которые говорят на трех языках, больше, чем тех, которые не говорят на них, а в задаче просят найти минимальное количество людей, которые говорят на испанском, итальянском и китайском.
Поэтому нужно предположить, что 10, 20 и 25 людей — совершенно разные люди. Это значит, что людей, которые говорят на одном языке меньше 55 (10+20+25), а значит остаются 45 (100-55) людей, которые говорят на трех языках.
Задачка для пятилетних детей, ставшая «вирусной» / Хабр
Вся правда о новейшей вирусной задачке из Сингапура и ещё одной исторической загадке с числамиВ честь юбилея этой колонки интернет любезно предоставил мне сингапурскую математическую задачку, ставшую вирусной. В середине мая веб был взволнован задачей, которую, якобы дают решать первоклассникам Сингапура, а это дети возрастом от 5 до 7 лет, и которая оказалась настолько сложной, что никто не может её решить.
Внимательно изучите последовательность цифр и заполните пробелы
Но наша история на самом деле про то, как фразы вроде «математическая задачка всколыхнула интернет» стали скучными и предсказуемыми попытками привлечь посетителей на страницу. Поскольку даже краткий взгляд на этот вопрос, который впервые появился на техническом форуме Сингапура, позволяет сказать, что это фото – очевидная подделка. Фотография выглядит отредактированной, а к задаче нет пояснений.
Судя по всему, задачку взяли (и видоизменили) с сайта, посвящённого математическим головоломкам, который ведёт Гордон Бёрджин, американский учитель на пенсии. И в варианте с сайта в левой нижней четверти стоит цифра 20. В сингапурской фотке 0 замазан. Неудивительно, что там нет очевидного решения!
«Я поражён этой подделкой и не знаю, чего они пытались этим достичь, – говорит Бёрджин. – Если их целью было бурное обсуждение и последующее отчаяние, то они своего добились!»
Далее идёт правильный вариант загадки.
1. В каждом из четырёх секторов внешнего круга находится двузначное число, равное сумме трёх чисел, расположенных в углах этого сектора. Числа в отдельных кружках могут меняться от 1 до 9, и каждое из чисел может быть использовано только один раз. Одно из чисел дано вам для того, чтобы начать. Найдите оставшиеся четыре.
2. Поскольку сингапурская загадка была неправильная – попробуйте предложить вариант задачи, который бы подошёл для приведённой картинки (с затёртым нулём).
Эта загадка напомнила мне задачку из одной из самых интересных книг по истории загадок: «Wakoku chiekurabe», старейшую японскую книгу загадок, опубликованную в 1727 году. Это прекрасная загадка – и, по меньшей мере, она-то как раз родилась на Востоке!
3. Запишите числа от 1 до 9 в чёрных кружочках так, чтобы сумма чисел, находящихся на каждом из двух голубых кругов (включая центральный кружок), а также вдоль горизонтальных и вертикальных линий была одинаковой.
Это четыре суммы, каждая из которых состоит из пяти слагаемых, и все суммы получаются одинаковыми. Вот картинка из самой книги, на которой изображена схожая задача.
Решения
1. По часовой стрелке, начиная сверху: 6, 1, 8, 9
Если мы назовём позиции для чисел Север, Восток, Запад, и Юг, то кандидатами для Запада и Юга будут 8 и 9, поскольку Ю + З + 3 = 20, или Ю + З = 17. Но нам известно, что Ю + В + 3 = 12, или Ю + В = 9. Но Ю не может быть 9, поскольку тогда В = 0, а это запрещено. Поэтому Ю = 8, З = 9, С = 6 и В = 1.
2. Мне больше всего понравилось задание, присланное читателем по имени Том Флэннери, поскольку оно оказалось очень простым.
Заполните круги целыми числами так, чтобы сумма секторов в каждом из полукружий равнялась сумме чисел в кружочках.
3. И последняя задача, из японского сборника загадок 1727 года.
Решений может быть много. Вот моё решение:
Путь к решению помогает проложить догадка – в центре может быть только нечётное число. Выбрав такое число, нужно разделить оставшиеся цифры на пары, которые в сумме дают одно и то же число, и расположить их в противоположных кружочках. Я выбрал 1 для центра, соответственно остаются пары 2 и 9, 3 и 8, 4 и 7, 5 и 6 – все они дают в сумме 11.
Загадки про цифры
Загадки про цифры для детей с ответами. Играйте с детьми, разгадывая загадки с ответами-цифрами, учите их считать и распознавать.
Учимся считать от 1 до 10 с загадками
Загадки про цифры от 1 до 10 — помощники в обучении детей счёту. К загадкам этого раздела не лишним будет распечатать раскраски с цифрами, в которых вы найдёте цифры со стишками, тематическими картинками и проверочными заданиями. Советуем сначала поиграть день-два с загадками про цифры, чтобы малыш запомнил хотя бы несколько из них, а затем закреплять знания, раскрашивая картинки.
Проживают в умной книжке |
Цифры ОТВЕТ |
С хитрым носиком сестрица |
Единица ОТВЕТ |
Лебедь плавает в тетрадке, |
Двойка ОТВЕТ |
Цифру эту угадай-ка! |
Тройка ОТВЕТ |
Кто-то ночью старый стул |
Четыре ОТВЕТ |
Если ДВА перевернуть |
Пять ОТВЕТ |
Если навесной замок |
Шесть ОТВЕТ |
На косу она похожа, |
Семь ОТВЕТ |
Эта циферка с секретом. |
Восемерка ОТВЕТ |
Цифра шесть перевернулась, |
Девять ОТВЕТ |
Нолик, стань за единицей, |
Десять ОТВЕТ |
Он похож на колобок, |
Ноль ОТВЕТ |
Задача с собеседований Google: продолжите последовательность
На доске записаны числа, вам нужно ответить на вопрос: какое число идёт дальше?
Чаще всего все пытаются отыскать – безуспешно – какую-либо закономерность в серии чисел, которая кажется совершенно бессмысленной. Но здесь нужно забыть математику. Произнесите эти числа на английском (см. рисунок), окажется, что они расположены в порядке возрастания числа букв, содержащихся в их написании.
Теперь приглядитесь еще более внимательно к этой серии. 10 – не единственное число из трёх букв. На этом месте могло бы быть 1, 2 и 6 (one, two и six). То же можно сказать и про 9, подойдут 0, 4 и 5 (zero, four и five). Таким образом можно сделать вывод, что в список включены самые крупные числа из тех, что можно выразить словами с заданным числом букв.
Так какой будет правильный ответ? Очевидно, что в числе, следующем за 66, должно быть девять букв (не считая возможного дефиса), и оно должно быть самым крупным в своём роде. Немного подумав, можно сказать, что ответ будет 96 (ninety-six). Вы понимаете, что сюда не подходят числа, превышающие 100, поскольку для «one hundred» уже нужно десять букв.
Может быть, у вас возникнет вопрос, почему в приведённом списке на месте 70 не стоит сто (hundred), или миллион, или миллиард, для написания которых также нужно семь букв. Скорее всего потому, что на правильном английском языке говорится не «сто», а «одна сотня», то же относится и к двум другим случаям.
Казалось бы, всё, вот он правильный ответ. В Google его считают приемлемым, но не самым совершенным. Есть число побольше:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000,
которое записывается как «one googol» (девять букв).
Однако и это еще не самый лучший вариант. Идеальный ответ: «ten googol», десять гуголов.
Хотите узнать историю этого ответа? Погуглите;)
Разбор головоломки по книге «Действительно ли Вы достаточно умны, чтобы работать в Google?»
Mathwire.com | Головоломки с логическими числами
Эти головоломки с логическими числами помогают учащимся развить в себе чувство числа в процессе работы, подсказка за подсказкой, для определения цифр пропущенного числа. Подсказки для смешанных навыков включают в себя операции (сумма, разность), кратные 5 и 10, геометрические термины (восьмиугольник, пятиугольник, шестиугольник, четырехугольник, трапеция, параллелограмм), деньги (четверти, пятаки). ) и измерения (чашка, пинта, кварта, галлон). Студенты должны выжать максимум знаний из каждой подсказки, чтобы исключить возможные цифры, пока они, наконец, не определят недостающие цифры.
Стратегия: Студенты могут решать эти проблемы разными способами, но такой организованный подход наиболее эффективен и легко воспроизводится студентами в будущем. Студенты также могут свободно обращаться к текстам по математике, стенам математических слов и т. Д., Чтобы получить подсказки по измерениям, геометрические термины и т. Д., Если это необходимо.
Учащиеся используют организованный подход к решению этих головоломок с логическими числами. Учащиеся начинают с цифр 0–9 в качестве возможных цифр для каждого значения.Каждая подсказка позволяет им исключить некоторые из этих возможностей. Процесс продолжается до тех пор, пока не останется только одна возможная цифра для каждого разряда.
На заключительном этапе учащиеся проверяют свою работу. По мере прочтения каждой подсказки учащиеся поднимают большой палец вверх, если подсказка соответствует их числу, или опускают, если нет. Этот последний шаг дает учащимся немедленную обратную связь о правильности их рассуждений.
Основные моменты преподавания: Формат плана урока также поощряет обсуждение, переход от решения всего класса к практике под руководством небольших групп к самостоятельному решению проблем.Учителя могут решить работать в тесном контакте с учащимися, испытывающими трудности, в рамках управляемой практики, отводя их к заднему столу, задавая вопросы и моделируя удаление цифр.
Большинство студентов, однако, следует поощрять к работе в малых группах, а затем в режиме самостоятельной практики. Учителя должны сопротивляться побуждению провести весь класс через все проблемы. Студенты ДОЛЖНЫ пробираться через подсказки, чтобы выработать собственное чувство числа. Вместо этого запланируйте время для обзора конкретных задач под руководством ученика, когда ученик думает вслух над заголовком и описывает, как он / она почерпнул информацию из каждой подсказки и решил, какие числа следует исключить.Студенты многому учатся у своих сверстников.
Материалы:
Знакомство с уроком:
- Раздайте ученикам копии шаблона головоломки с логическими числами и попросите их поместить шаблон в защитные приспособления для листов. Раздайте учащимся маркеры и ластики сухого стирания.
- Поместите прозрачную пленку шаблона головоломки с логическими числами в защитную пленку и поместите наверху. Выберите ученика, который будет вести запись класса наверху.Дайте ученику маркер и ластик для сухого стирания, чтобы он использовал их на прозрачной пленке.
- Обсудите шаблон головоломки с логическими числами со студентами и поговорите о том, как они будут использовать шаблон для решения проблемы, устраняя подсказки чисел за подсказкой.
- Прочтите первую подсказку и спросите студентов, что подсказка говорит им о числе. Спросите студентов, есть ли какие-нибудь цифры, которые они могут исключить из-за этой подсказки. Как только учащиеся достигнут согласия, попросите учащегося наверху исключить любые возможности, поскольку учащиеся делают то же самое на своих собственных шаблонах.
- Продолжайте этот процесс, подсказка за подсказкой, ведя обсуждение в классе и помогая учащимся определить, какие цифры исключаются из каждой подсказки.
- Когда все подсказки прочитаны и обработаны, учащиеся должны указать полный номер в строках над таблицей цифр.
- Проверить работу: Сообщите учащимся, что последний процесс — это проверка их работы. Попросите учащихся взглянуть на их количество, когда вы перечитываете каждую подсказку. Они должны показать большой палец вверх, если число соответствует разгадке; пальцы вниз, если это не так.Значок «Большой палец вниз» означает, что учащимся нужно переработать эту подсказку. Поднятые вверх большие пальцы указывают на то, что учащиеся, скорее всего, ответили правильно.
Практика малых групп:
- Попросите учащихся стереть свои шаблоны головоломок с логическими числами.
- Раздайте учащимся головоломки с логическими числами — 2.
- Попросите группы проработать первую задачу, зачитывая подсказку вслух, обсуждая, какие цифры можно исключить, достигая согласия и удаляя эти цифры в своих шаблонах.
- Обходите комнату, пока студенты работают, чтобы убедиться, что все учащиеся активно участвуют, и что группы обсуждают каждую подсказку и достигают соглашения о том, какие цифры можно исключить.
- Следите за тем, чтобы ученики проверяли свою работу, используя подход «палец вверх», прежде чем подавать сигнал о том, что они выполнили задачу.
- Когда каждая группа даст правильный ответ, попросите их стереть свои шаблоны и приступить к работе над следующей проблемой.
- ПРИМЕЧАНИЕ: Если в классе два учителя или помощник учителя, они могут собрать борющихся учеников в небольшую группу и работать с ними над первой парой проблем.
Индивидуальная практика:
- Когда группа решит все задачи, им следует дать копии головоломок с логическими числами — 3 и шаблона головоломки с логическими числами — 2, чтобы при желании записать их работу. Использование этого шаблона позволяет учителям собирать и проверять работы учеников.
- Каждый учащийся должен работать самостоятельно в своем собственном темпе для решения этих задач и записывать каждый ответ в раздаточный материал.
- Ходите по комнате, пока студенты работают, чтобы убедиться, что все студенты активно участвуют и работают независимо над решением каждой проблемы.При необходимости вмешивайтесь, чтобы оказать помощь или ободрение.
- Поощряйте учеников, которые заканчивают раньше, придумывать собственные головоломки с логическими числами для одноклассников.
Проблемы логики сотен плат
Стратегия: Учащиеся используют доску с сотнями, чтобы исключить числа после прочтения каждой подсказки. Студенты должны применять свои знания о четно-нечетных, кратных и числовых значениях, чтобы успешно исключать числа, пока не будет найдено решение.
Угадай число
Дайте учащимся больше практики в использовании доски сотен для решения задач с числами. И снова ученики решают проблему «ключ за ключом», убирая числа по ходу дела. Однако с этим набором учащиеся должны использовать умножение, деньги и факты измерения, чтобы правильно решить задачу и угадать число.
- Загрузите пакет ресурсов для учителей «Угадай число», который включает 10 головоломок с двузначными числами и шаблон для учащихся, чтобы они могли написать свои собственные задачи «Угадай число».
Пример задачи: Угадай число-1
Предлагаемое использование:
- Сделай сейчас! или разминка
- Деятельность математического центра
- Решение проблем в игровые дни
- Написание оригинальных задач «Угадай число» для коллекции классов
Головоломки с числами — Griddlers.net
Судоку
Судоку — это логическая головоломка с расстановкой чисел.Цель состоит в том, чтобы заполнить сетку цифрами так, чтобы каждый столбец и каждая строка содержали цифры только один раз.
Без блоков (латинский квадрат)
Латинский квадрат — это массив размером n x n, заполненный n разными цифрами, каждая из которых встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце. Правило латинских квадратов:
|
Прямоугольные блоки
Наиболее распространенным ограничением являются прямоугольные блоки.Сетка 9×9 состоит из 9 блоков, как показано на рисунке. Прямоугольные блоки Правила:
|
Нерегулярные блоки (лобзики)
Пазл воспроизводится так же, как судоку, за исключением того, что в сетке есть неправильные блоки, также известные как клетки. Правила нерегулярных блоков:
|
Варианты по диагонали
Обычно добавляются ограничения на размещение цифр, помимо обычных строк и столбцов. Одним из ограничений является диагональный вариант. Диагональные варианты Правило:
|
Комбинированные варианты
Варианты можно комбинировать.Например: сетка может иметь как прямоугольные блоки, так и диагональные линии. Также диагональных линий может быть больше двух. Прямоугольные блоки и диагональные варианты Правила:
|
Перекрывающиеся варианты
Перекрывающиеся варианты состоят из нескольких головоломок.Общие блоки выделены другим цветом. Вот несколько примеров перекрывающихся судоку:
Double-DokuSensei
Gattai Near-2
Wing-3
Gattai-3
Sohei
Butterfly
Flower-4
Samurai
Gattai-8
Killer
Сетка Killer Sudoku покрыта клетками (группами ячеек), отмеченными пунктирными контурами. Каждая клетка вмещает 2 или более ячеек. Левая верхняя ячейка помечена суммой клеток, которая представляет собой сумму всех цифр решения для ячеек внутри клетки. Killer Sudoku Rules:
|
Больше / меньше
Больше (или меньше) Судоку не содержит подсказок (цифр). Вместо этого есть «Больше» (>) или «Меньше чем» ( Правило «Больше / меньше»:
|
Какуро
Какуро играется на сетке из заполненных и заштрихованных ячеек, «черных» и «белых» соответственно. Сетка разделена на «записи» (линии белых ячеек) черными ячейками. Черные ячейки содержат косую черту от верхнего левого угла к нижнему правому и число в одной или обеих половинах. Эти числа называются «подсказками». Правило Какуро:
|
Калкулдоку
Сетка разделена на четко очерченные клетки (группы ячеек). Числа в ячейках каждой клетки должны давать определенное «целевое» число при объединении с использованием определенной математической операции (сложение, вычитание, умножение или деление). Правила Калкулдоку:
|
Futoshiki
Futoshiki воспроизводится по сетке, которая может отображать некоторые цифры в начале. Кроме того, есть «Больше чем» (>) или «Меньше чем» ( Правила Футошики:
|
Стриты
Стриты играются на сетке, которая частично разделена черными ячейками на отсеки. Отсеки должны содержать прямую — набор последовательных номеров — но в любом порядке (например: 2-1-3-4). В черных ячейках также могут быть белые улики. Straights Rules:
|
Небоскреб
Пазл с небоскребом имеет цифры по краю сетки. Эти числа указывают на количество зданий , которые вы бы видели с этого направления, если бы была серия небоскребов с высотой, равной значениям в этой строке или столбце. Например: если в строке 4 ячейки и если первое число в ячейке равно 4, вы увидите только один небоскреб, потому что четырехэтажный небоскреб скрывает одно-, двух- и трехэтажные небоскребы. Skyscrapers Rules:
|
Небоскребы с парками
Пазл Небоскребы может иметь парков (пустые ячейки). Небоскребы с парками Правила:
|
Sum Skyscrapers
Числа по краю сетки Sum Skyscraper указывают на сумму высот видимых зданий. Sum Skyscrapers Rules:
|
Двоичный
Заполните сетку нулями (0) и единицами (1), пока в каждой строке и каждом столбце не будет столько же нулей и единиц. Бинарные правила:
|
Bricks
Bricks — еще один тип латинского квадрата. Сетка разделена на пары и имеет вид кирпичной стены. Правила кирпичей
|
Головоломки с числовой сеткой
Эта страница содержит ссылки на бесплатные рабочие листы по математике для задач с числовой сеткой. Нажмите одну из кнопок ниже, чтобы увидеть все рабочие листы в каждом наборе. Вы также можете использовать меню «Рабочие листы» сбоку на этой странице, чтобы найти рабочие листы по другим математическим темам.
Сложение и вычитание с отсутствующими значениями (малые)
Сложение и вычитание с пропущенными значениями до 100
Сложение и вычитание с пропущенными значениями (большие)
12 головоломок с числовой сеткой
Рабочие листы математической логики, в которых учащиеся должны заполнить пропущенные значения.Эти рабочие листы имеют большие значения для операндов и сумм, чем приведенные выше, и подходят для учащихся 4-х классов, которым комфортно решать более крупные задачи.
Сложение и вычитание с пропущенными значениями (большие)Умножение и деление с пропущенными значениями отрицательные (малые)
Умножение и деление с отсутствующими операциями (малое)
Сложение и вычитание с отсутствующими операциями (средний)
Сложение и вычитание с отсутствующими операциями (большой)
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными значениями и строчными числами операций
Логические головоломки умножения и деления с отсутствующими значениями и операциями (средний уровень)
Логические головоломки сложения и вычитания с отсутствующими значениями и операциями (большие)
Умножение и деление с пропущенными значениями (малое)
Умножение и деление с пропущенными значениями на 100
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными значениями (большие)
Умножение и деление с пропущенными значениями отрицательные (малые)
Умножение и деление с отсутствующими операциями (малое)
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными операциями (средний уровень)
Логические головоломки «Все операции» с отсутствующими значениями и операциями (большие)
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными значениями и строчными числами операций
Логические головоломки умножения и деления с отсутствующими значениями и операциями (средний уровень)
Логические головоломки «Все операции» с отсутствующими значениями и операциями (большие)
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными значениями (маленькие)
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными значениями до 100
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными значениями (большие)
Логические задачи «Все операции» с пропущенными отрицательными значениями (маленькие)
Логические головоломки «Все операции с пропущенными операциями» (маленькие)
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными операциями (средний уровень)
Логические головоломки «Все операции» с отсутствующими значениями и операциями (большие)
Логические головоломки «Все операции» с пропущенными значениями и строчными числами операций
Логические головоломки «Все операции» с отсутствующими значениями и операциями (средний уровень)
Логические головоломки «Все операции» с отсутствующими значениями и операциями (большие)
Знакомство с головоломками КенКена — элементарная математика
На этой странице рассказывается, как вводить головоломки КенКена , чтобы учащиеся могли увидеть, сосредоточиться и изучить логику , а не просто догадываться.
Эти головоломки дают детям отличную возможность попрактиковаться в арифметике в начальной школе — сложении, вычитании, умножении и делении — таким образом, чтобы они также развивали свои логические навыки и навыки решения задач, необходимые в алгебре и для тестов с высокими ставками. При введении, как здесь предлагается, головоломки также поддерживают логические аргументы и доказательства.
Другие тесно связанные головоломки включают MysteryGrid, которая немного меняет арифметические методы и логику, чем KenKen, и Futoshiki, которая представляет собой чистую логику.Пазлы MysteryGrid доступны также на https://SolveMe.edc.org.Эта страница предназначена для вас, чтобы помочь вам подготовиться. Это не план урока или рецепт преподавания. Когда вы найдете свой собственный стиль, сосредоточьтесь на том, чтобы дети разгадывали головоломки.
Когда вы впервые представляете новую головоломку, сосредоточьтесь на элементах, общих для все решения проблем.
- Поиск точки входа: Смоделируйте поиск начальной точки. Скажите открыто, что вы намеренно ищете easy место для начала.Некоторым нравится термин «стратегически ленивый». Некоторые предпочитают говорить: «Найдите минутку, чтобы подумать, чтобы потом нам не пришлось так усердно работать».
- Keeping track: Будьте «писцом», моделируя для учащихся, как отслеживать то, что они действительно знают . Ниже вы увидите примеры того, что это означает.
- Экспериментируют, но не догадываются: Покажите, как никогда не угадывать то, чего они не знают . Приведенные ниже примеры помогут прояснить это.
Конечно, вам также нужно будет обучить правилам KenKen, но они не являются целью.Правила обучения лучше всего работают в контексте, когда вы играете впервые. «Объяснение» правил заранее редко бывает эффективным; слишком сложно понять и запомнить все правила перед игрой.
«Социальное решение»: представляем головоломки как совместную задачу
Представьте идею решения головоломки с другим человеком по очереди — сначала, возможно, весь класс решает головоломку, спроецированную на доску. По мере того, как вы представляете классу головоломки, смоделируйте идею поиска подходящего места для начала или следующего пути, ища себе место, куда можно пойти, и прося (и немного подождав) поделиться идеями учащихся.Не стесняйтесь вносить идеи сами — в конце концов, это часть очередности, — но не слишком много и придерживайтесь самых простых идей, чтобы у учащихся была возможность решать «более сложные» ситуации.
Некоторые ученики со временем предпочтут решать головоломки самостоятельно. Подготовьте распечатанные материалы.
Две хорошие стартовые головоломки
Подготовка: загрузите изображение в проект при представлении KenKen.
Правила для KenKen
Трудно выучить все правила сразу, прежде чем играть в пазл, поэтому дайте самое короткое введение, прежде чем погрузиться в игру.Начните с головоломки 4 × 4, подобной показанной выше.
- В KenKen 4 × 4 вы можете писать только числа 1, 2, 3 или 4. Существуют головоломки KenKen других размеров. Числа, которые вы пишете, зависят от размера KenKen. В KenKen 6 × 6 вы можете писать числа от 1 до 6. Загадки MysteryGrid очень похожи на KenKens, но позволяют использовать большее разнообразие чисел, что позволяет учащимся использовать более широкий набор арифметических фактов. Они также используют более разнообразные подсказки, некоторые из которых взяты из головоломок Футошики, расширяя логические задачи.
- Никакие числа не могут повторяться ни в одной строке или столбце. (Каждое допустимое число должно появляться в каждой строке и столбце.)
- Каждая «клетка» (область, ограниченная жирной рамкой) содержит «целевое число» и обычно арифметическую операцию. Вы должны заполнить эту клетку числами (в любом порядке), которые достигают цели с помощью указанной арифметической операции. При необходимости числа повторяются в клетке, если они не повторяются в одной строке или столбце.
- В одноклеточной клетке просто напишите целевой номер.
Выяснение, с чего начать
Поиск места для начала — часть того, что делает головоломку загадочной.
Нет специального приказа для решения головоломки, никакого «правила». Но есть хорошие стратегии.
Хорошая стратегия 1 : «Будьте стратегически ленивы!» Ищите самое легкое место для начала и самое легкое место , чтобы пойти дальше!
Если в головоломке есть области с одной ячейкой, как эта, то это, очевидно, «самый простой» вариант для начала.Это число является целью, никаких операций не требуется, поэтому мы просто записываем число.
Что теперь? Есть как минимум два «самых простых» следующих шага. Спрашивайте идеи.
Первоначально студенты обычно просто предполагают, редко ожидая, что решение связано с дедукцией. Например, они могут предположить, что 3 и 1 могут попасть в зеленую клетку (верхний ряд). Это, безусловно, возможно — цель состоит в том, чтобы получить 2 с помощью вычитания и 3 — 1 = 2, но обратите внимание, что также возможны три другие пары чисел: (2, 4), (4, 2) и (1, 3) ).Мы пока не знаем, какой из них правильный.
Часто спрашивают: «Как ты это понял?» или «вы знаете, что эти должны быть числами , или вы просто говорите, что может быть ?» Это помогает отличить дедукцию от предположений и побуждает студентов объяснять свою логику и развивать свою способность строить жизнеспособные аргументы.
Моделирование того, как «разгадывать» решение
Подождав достаточно долго, пока студенты предложат идеи, не стесняйтесь моделировать «поиск легкого места», указывая на то, что вы видите.Есть два хороших кандидата.
- Для оранжевой клетки нужны два числа, которые можно сложить, чтобы получить 3. Только 1 и 2 будут работать, но мы не знаем, в каком порядке.
Хорошая стратегия 2 : «Будь смелым!» Несмотря на то, что мы не знаем всего, мы кое-что знаем, поэтому мы должны это написать! Поэтому мы просто напишем 1 и 2 в строке посередине, чтобы показать, что они есть, не догадываясь о порядке, что может испортить Если мы сделаем неправильный порядок, мы вернемся позже. Следующий простой шаг, если учащиеся начинают с этого, — это оставшееся число в этой строке.Это должно быть 3, потому что все остальные числа были использованы. - Или студенты могут в следующий раз взглянуть на синюю клетку. Имея те числа, которые у нас есть, единственный способ получить 9 путем умножения — это умножить 3 × 3. Они могут повторяться в этой клетке, но не в одной строке или столбце. И третье число в этой клетке должно быть 1.
Следующий простой шаг, если ученики начинают с , это , — это заполнить оранжевую ячейку чуть выше 1. Процесс исключения: Это не может быть 1 или 3 (почему?) и не может быть 4 (почему?), так что…
Итак, что мы можем заполнить? И куда мы можем пойти дальше? К этому моменту у студентов уже могут быть идеи о том, как действовать дальше.
Казалось бы, невозможно угадать число Логическая головоломка — помните о своих решениях
Давние читатели могут узнать эту ранее опубликованную проблему, как и люди, которые читали мою книгу Math Puzzles Volume 1.
Алиса и Боб участвуют в игровом шоу. Каждому тайно сообщается целое положительное число. Им говорят, что эти два числа идут подряд, но никто не знает номер другого человека. Например, если Алисе сказали 20, она не знает, сказали ли Бобу 19 или 21. И если Бобу сказали 21, он не знает, сказали Алисе 20 или 22.Суть игры — угадать номер другого человека. Игра работает следующим образом.
–Алиса и Боб не могут общаться друг с другом, и им также не разрешается планировать свою стратегию.
— Двое находятся в комнате, где каждую минуту звонят часы.
–После того, как часы зазвонят, любой игрок может угадать номер другого игрока или промолчать.
— Игра продолжается до тех пор, пока Алиса или Боб не сделают предположение. После того, как будет сделано первое предположение, игра заканчивается.
–Алиса и Боб выигрывают по 1 миллион долларов каждый, если предположение верное, и они проигрывают и ничего не получают, если предположение неверно.
Как Алисе и Бобу следует играть в эту игру, чтобы иметь наибольшие шансы на победу? Каждый знает, что другой человек отлично умеет логически рассуждать.
Посмотрите видео, чтобы узнать о решении.
Казалось бы, невозможно угадать число Логическая головоломка
Или продолжайте читать.
.
.
«Все будет хорошо, если вы будете использовать свой разум для принятия решений, и думать только о своих решениях.«С 2007 года я посвятил свою жизнь тому, чтобы делиться радостью теории игр и математики. MindYourDecisions теперь имеет более 1000 бесплатных статей без рекламы благодаря поддержке сообщества! Помогите и получите ранний доступ к сообщениям с обещанием на Patreon.
..
.
.
.
.
M
I
N
D
.
Y
O
U
R
.
D
E
C
I
S
I
O
N
S
P
U
Z
Z
L
E
.
.
.
.
Решение, казалось бы, невозможно угадать логическую головоломку с числами
Поначалу кажется, что Алиса и Боб не могут сделать ничего лучше, чем случайный случай. Если, например, Алисе сказано 20, невозможно узнать, у Боба 19 или 21. Но поскольку Алиса может ограничить число Боба двумя вариантами, она может иметь как минимум 50% шанс угадать правильно.
У Боба такая же проблема. Если ему сообщают номер N , то он не может быть уверен, что Алисе было сказано N -1 или N + 1.Если Боб угадывает между двумя вариантами, то у него также есть 50% -ный шанс угадать правильно.
Казалось бы, Алиса и Боб застряли. Ни один из игроков не может добиться большего, чем случайный шанс, поэтому независимо от того, кто угадает, похоже, что их шанс на победу ограничен 50%.
Но, что удивительно, они могут добиться большего, чем случайный случай! Они действительно могут увеличить свои шансы на победу до 100%. То есть они точно могут выиграть игру! Хитрость в том, что они могут использовать логику и часы звонка, чтобы координировать предположения игрока.
Стратегия
Ответ кроется в тонком правиле, согласно которому часы звонят каждую минуту. Часы, по сути, служат сигналом между Алисой и Бобом, который позволяет каждому человеку индуктивно рассуждать.
Ключевым моментом является то, что двум даются положительные последовательные числа. Когда Алиса получает число N , она обычно должна считать, что у Боба N — 1 или N + 1. Но это не всегда так. Предположим, что Алиса получает число 1.Ей придется учитывать, что Боб получил 0 или 2. Но поскольку 0 не является положительным, она знает, что Боб, должно быть, получил 2.
Итак, если Алиса получит 1, то она будет знать, что у Боба 2, и она ответит. по первому звонку часов. Точно так же, если бы Боб получил число 1, он бы знал, что у Алисы должно быть 2, и ответил бы после первого звонка часов.
Теперь представьте, что Алисе было дано 2, а Бобу 3. Алисе было бы интересно, имеет ли Боб 1 или 3. Но Алиса подумала бы: «Если у Боба 1, он обязательно ответит после первого звонка часов.Следовательно, если часы звонят, а он не отвечает, у него обязательно должно быть 3 ». Таким образом, часы прозвонят один раз, а затем, когда они прозвонят второй раз, Алиса ответит и угадает, что у Боба 3. (Если вместо этого Бобу дали 2, а Алисе 3, то Боб ответил бы после второго звонка и предположил бы, что у Алисы 3. .)
Это рассуждение можно продолжить индуктивно. Если Алисе и Бобу присвоены N и N + 1, то игрок с меньшим номером ответит ровно на N колец часов и правильно ответит, у другого человека будет N + 1.
Они выигрывают каждый раз!
Связь с общим знанием
Головоломка иллюстрирует концепцию теории игр общих знаний , которая отличается от взаимных знаний .
Событие — это взаимное знание , если каждому игроку известно событие. Вместо этого событие является общеизвестным , если все игроки знают событие, все игроки знают, что все игроки его знают, и так далее до бесконечности .
Вот как эти две концепции работают в игре. Когда Алисе дается число 20 (а у Боба может быть 19 или 21), это взаимное знание (* , но еще не общеизвестно), что ни у одного игрока нет числа 1, ни у одного игрока нет числа 2 и т. Д. до того, как ни один из игроков не имеет числа 17. Но этого вывода недостаточно для решения игры.
Вот где звон часов дает руку помощи. Когда часы бьют первый раз и никто не отвечает, событие *, которое ни один из игроков не имеет 1, превращается из взаимного знания в общеизвестное.Это кажется тривиальным различием, но оно является важным, позволяющим строить логические выводы. Каждый раз, когда бьют часы, набор исключенных чисел становится общим для обоих игроков, что в конечном итоге позволяет игрокам наверняка выиграть.
(* Уточнения, основанные на справедливой точке зрения Криса Купера и Сачина Варгезе. Надеюсь, теперь я получил правильную формулировку, но, возможно, она могла бы быть более конкретной. В любом случае, я надеюсь, что вы уловили идею из того, что я написал! И если это неправильно, дайте мне знать!)
Источник загадки
Невозможно ?: Удивительные решения парадоксальных головоломок Джулиана Хэвила.Загадка называется «последовательные целые числа».
Ссылка на Amazon: http://amzn.to/2rLqjNu
(я могу получить небольшой процент от продажи)
МОИ КНИГИ
Если вы совершите покупку по этим ссылкам, я могу получить компенсацию за покупки, сделанные на Amazon. Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках. Это не влияет на цену, которую вы платите.
(ссылки для США и других стран)https://mindyourdecisions.com/blog/my-books
Mind Your Decisions — это сборник из 5 книг:
(1) The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Мышление(2) 40 парадоксов в теории логики, вероятностей и игр
(3) Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость
(4) Лучшие уловки в области ментальной математики
(5) Умножать числа, рисуя линии
Радость теории игр показывает, как можно использовать математику, чтобы перехитрить своих конкурентов.(рейтинг 4,2 / 5 звезд в 194 отзывах)
40 парадоксов в логике, вероятностях и теории игр содержит наводящие на размышления и противоречащие интуиции результаты. (рейтинг 4/5 звезд в 29 обзорах)
Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость — это руководство, в котором объясняется, насколько мы необъективны при принятии решений, и предлагаются методы для принятия разумных решений. (рейтинг 3,9 / 5 звезд в 16 отзывах)
Лучшие уловки в области ментальной математики учит, как можно выглядеть математическим гением, решая задачи в уме (оценка 4.2/5 звезд в 54 обзорах)
Умножение чисел на рисование линий Эта книга представляет собой справочное руководство для моего видео, которое набрало более 1 миллиона просмотров по геометрическому методу умножения чисел. (рейтинг 4,1 / 5 звезд в 22 обзорах)
Mind Your Puzzles представляет собой сборник из трех книг «Математические головоломки», тома 1, 2 и 3. Темы головоломок включают математические предметы, включая геометрию, вероятность и т. д. логика и теория игр.
Math Puzzles Volume 1 содержит классические головоломки и загадки с полными решениями задач счета, геометрии, вероятности и теории игр.Том 1 получил оценку 4,4 / 5 звезд в 72 отзывах.
Math Puzzles Volume 2 — это продолжение книги с более серьезными задачами. (рейтинг 4,2 / 5 звезд в 20 обзорах)
Math Puzzles Volume 3 — третий в серии. (рейтинг 4,2 / 5 звезд по 16 отзывам)
KINDLE UNLIMITED
Учителя и студенты со всего мира часто пишут мне о книгах. Поскольку образование может иметь такое огромное влияние, я стараюсь сделать электронные книги доступными как можно шире по как можно более низкой цене.
В настоящее время вы можете читать большинство моих электронных книг с помощью программы Amazon Kindle Unlimited. Включив подписку, вы получите доступ к миллионам электронных книг. Вам не нужно устройство Kindle: вы можете установить приложение Kindle на любой смартфон / планшет / компьютер и т. Д. Ниже я собрал ссылки на программы в некоторых странах. Пожалуйста, проверьте свой местный веб-сайт Amazon, чтобы узнать о доступности и условиях программы.
США, список моих книг (США)Великобритания, список моих книг (Великобритания)
Канада, результаты книги (CA)
Германия, список моих книг (DE)
Франция, список моих книг (FR)
Индия , список моих книг (IN)
Австралия, результаты книги (AU)
Италия, список моих книг (IT)
Испания, список моих книг (ES)
Япония, список моих книг (JP)
Бразилия, книга results (BR)
Mexico, book results (MX)
MERCHANDISE
Купите кружку, футболку и другие товары на официальном сайте: Mind Your Decisions at Teespring .
Дайте волю своей смекалке! Сможете ли вы решить эти невероятно сложные головоломки? | Математика
Для тех из нас, чьи школьные воспоминания включают борьбу с делением в столбик и квадратными уравнениями, может быть удивительно узнать, что было время, когда почти вся математика была развлекательной.
Например, в средневековом мире математика играла роль интеллектуального развлечения. (Помимо использования для технических, реальных задач, таких как измерение площади земли или расчет налогов.Когда в 799 году британский ученый Алкуин Йоркский послал письмо, содержащее около 50 задач по математике, Карлу Великому, он сделал это не для того, чтобы рассердить короля, а чтобы развлечь его.
В древние времена многие арифметические задачи тоже создавались для развлечения. Действительно, для греков основной мотивацией изучения геометрии были интеллектуальные стимулы и открытия, не заботящиеся о практических приложениях.
Математика стала серьезной во время научной революции. Во всем виноват Исаак Ньютон.Открытие его законов движения и гравитации — а также исчисления бесконечно малых, которое предоставило инструменты для работы с этими новыми идеями, — создало новые трудные задачи для математиков, например, поиск уравнений, которые описывают как можно большую часть мира.
Последствия ощущаются и сегодня. Математика в основном утратила репутацию средства развлечения и развлечения. (Когда часть математики становится успешной, как в случае с судоку, люди оправдываются, что «это не математика», как будто это перестает быть так просто из-за своей популярности.) И это обидно, потому что мы лишаем себя много веселья.
Математические и логические головоломки доставляют удовольствие и жизнеутверждают, потому что они заставляют нас использовать наш ум. Хорошую головоломку также никогда не бывает слишком сложно решить, что дает нам достижимую цель, которая в высшей степени доставляет удовольствие, когда она возникает. В головоломке мы доказываем себе, что можем сделать то, в чем сомневались. Дедуктивное рассуждение простыми логическими шагами утешает, особенно когда реальная жизнь так нелогична.
Начиная с Alcuin, Великобритания создала множество выдающихся мастеров головоломок.Алкуин известен как первый писатель, который ввел юмор в математические задачи, и его тизеры выдержали испытание временем. Мало кто из взрослых может не знать его самую известную загадку, о путешественнике, пытающемся перейти реку с волком, козой и капустой, о которой когда-то даже рассказывалось в эпизоде «Симпсонов». Мне нравятся и другие типы головоломок, которые он представил, например, вопросы о странных семейных отношениях.
В 19 веке Льюис Кэрролл популяризировал логические забавы в «Приключениях Алисы в стране чудес» и «Зазеркалье».Но величайшим изобретателем головоломок в истории Британии был Генри Эрнест Дудени, головоломки которого десятилетиями появлялись в британских газетах и журналах. В апреле 1930 года, в месяц смерти Дудени, одна из его самых важных загадок появилась в Strand Magazine — литературном журнале, в котором были опубликованы первые рассказы Конан Дойля о Шерлоке Холмсе. Смит, Джонс и Робинсон вдохновили на создание совершенно нового жанра логических головоломок, в которых решатель должен делать выводы из списка причудливых утверждений. Эти головоломки предлагают вам стать детективом.При первом чтении кажется, что информации слишком мало, чтобы найти ответ. Но постепенно вы будете собирать ключи воедино.
Однако даже когда в конце 17 века математика стала серьезной, она не потеряла полностью свой элемент игры. Помимо выяснения уравнений для обычных явлений, таких как колебания струны, математики также использовали новые инструменты Ньютона для исследования необычных и причудливых кривых. Фактически, многие великие открытия были сделаны математиками, пытающимися понять простые головоломки и игры.Наиболее очевидно, что область вероятностей — а следовательно, и вся статистика — была результатом переписки Блеза Паскаля и Пьера де Ферма об азартных играх.
Великие математики не только использовали простые головоломки, чтобы вдохновить на новые исследования, но они также придумали множество собственных головоломок. Эдуард Лукас, который в 19 веке добился важных успехов в нашем понимании простых чисел, написал книгу головоломок для обычного читателя, а также изобрел несколько классических задач.
Несмотря на нынешнее плохое представление о математике, повсеместное распространение судоку свидетельствует о том, что математические головоломки остаются популярным времяпрепровождением для многих. Я обнаружил, насколько хорошая головоломка может стать вирусной, когда я разместил головоломку с сингапурского экзамена по математике в своем блоге Guardian Puzzle: этот пост стал девятым по популярности историей в Guardian в Интернете за последний год, а сообщение с решением было шестой. Успех этой головоломки вдохновил меня погрузиться в историю головоломок и заново открыть для себя многие головоломки последней тысячи лет.Одному из моих любимых, написанному японским мастером головоломок Нобом Йошигахара, всего несколько десятилетий.
Лучшие головоломки, подобные этой, — это отрывки стихов. Элегантно и кратко они вызывают в нас интерес, разжигают наш дух соревнования и в некоторых случаях раскрывают универсальные истины. Головоломки взывают к нашему стремлению осмыслить мир, но, что наиболее важно, они позволяют нам развлечься интеллектуальной игрой. Однако какими бы легкомысленными или надуманными они ни были, стратегии, которые мы используем для их решения, расширяют наш арсенал для решения других жизненных проблем.
С момента зарождения математики нам нравится ставить головоломки и решать их. И мы можем продолжать это делать еще долго.
Головоломка 1: qwerty
Клавиши из 10 букв в верхней строке пишущей машинки — это
Q W E R T Y U I O P
Можете ли вы найти слово из 10 букв, в котором используются только эти клавиши?
Джаспер Джейсон работает на местном радио. Это его визитная карточка. Вы можете определить узор?
Головоломка 3: двойное свидание Если двое мужчин женится на матери друг друга, каковы будут отношения между их сыновьями?
Следующая история о французском математике 18-го века Эдуарде Лукасе является абсолютной достоверностью, согласно французскому учебнику математики 1915 года.Это произошло много лет назад, пишет автор, на научной конференции. После обеда вокруг слонялось несколько известных математиков. Лукас заговорил и бросил им вызов. Некоторые ответили неверно. Большинство молчали. Никто не понял это правильно.
Каждый день в полдень в Гавре океанский лайнер плывет в Нью-Йорк, и (одновременно) в Нью-Йорке океанский лайнер плывет в Гавр. Переход занимает семь дней и семь ночей в обоих направлениях.Сколько океанских лайнеров пересечет в море океанский лайнер, покидающий Гавр сегодня, к тому времени, когда он прибудет в Нью-Йорк?
Смит, Джонс и Робинсон — машинист, пожарный и охранник в поезде, но не обязательно в таком порядке. В поезде находятся три пассажира, по совпадению с одинаковыми фамилиями, но идентифицированные с «мистером»: мистер Джонс, мистер Смит и мистер Робинсон.
Мистер Робинсон живет в Лидсе.
Охранник живет на полпути между Лидсом и Шеффилдом.
Зарплата мистера Джонса составляет 1 000 фунтов стерлингов 2 шилл. 1г. ежегодно.
Смит может победить пожарного в бильярд.
Ближайший сосед охранника (один из пассажиров) зарабатывает ровно в три раза больше, чем охранник.
Тезка охранника живет в Шеффилде.
Как зовут машиниста?
(Я сохранил первоначальную формулировку головоломки, в которой используется старая британская валюта. Значение 1000 фунтов стерлингов 2 шилл. 1 пенни, или тысяча фунтов, два шиллинга и один пенни, состоит в том, что вы не можете разделить ее на три, чтобы получить точную сумму.)
Головоломка 6: освободите монету Монеты и спички исторически являются двумя самыми популярными элементами головоломки. Эта головоломка содержит и монету, и спичку. Считайте это развлекательным математическим эквивалентом редкого дуэта двух известных старых певцов.
Два перевернутых стакана расположены, как указано выше. Между ними лежит спичка, а в левом стекле застряла монета. Сможете ли вы вынуть монету, не дав спичке упасть?
Восемь листов бумаги одинакового размера кладутся на стол.Их края образуют следующий узор, где только один лист, помеченный цифрой 1, полностью виден:
Можете ли вы пронумеровать другие листы сверху вниз, где 2 — второй слой, 3 — третий слой и так далее?
Японский изобретатель головоломки Ноб Йошигахара считал эту головоломку своим шедевром.
Числа ниже расположены по определенному правилу. Как только вы выработаете правило, введите недостающее число.Число семь в последнем круге не является опечаткой.
Пожалуйста, без спойлеров в комментариях, так как это портит веселье другим. Смотрите решения здесь.
Сможете ли вы решить мои проблемы? Сборник гениальных, сложных и полностью удовлетворяющих головоломок Алекса Беллоса издается Guardian Faber по цене 14,99 фунтов стерлингов. Чтобы заказать копию за 10,99 фунтов стерлингов, перейдите на bookshop.theguardian.com или позвоните по телефону 0330 333 6846.
Мини-книги Number Logic | mathsticks.com
Здесь мы взяли головоломок сложения из Mental Monday’s # 19 и превратили их в серию мини-буклетов.
Это делает их идеальными для детей, которые могут работать в своем собственном темпе, их также можно использовать в качестве «регистрационных заданий» или в качестве домашнего задания.
PDF-файл содержит четыре буклета с дифференцированными дополнительными задачами, первые два подходят для раннего ключевого этапа 2, а остальные — для верхнего ключевого этапа 2.
Идея состоит в том, что дети должны заполнить кружки числами, указанными под каждой диаграммой, чтобы получить определенную сумму по соединенным линиям.Если дети работают вместе, они могут поделиться своими стратегиями и идеями. Как и в судоку, здесь не дается никаких решений, поскольку после того, как найдено правильное расположение, проблема заключается в самопроверке. Примечание: у некоторых проблем есть несколько решений, поскольку можно отразить аранжировки.
Загрузка включает в себя полные инструкции, но вот краткое описание того, как складывать мини-буклеты:
Следуйте инструкциям несколько раз, и весь процесс будет очень быстрым и простым. Я не складываю детские книжки , я просто раздаю бумагу А4, и они сами режут и складывают!
1 .Распечатайте соответствующую страницу формата A4 из файла pdf. Четыре нижних задачи по математике напечатаны в перевернутом виде, так и должно быть.
Обратите внимание на горизонтальную линию посередине страницы.
2 . Сложите пополам вдоль (это горная складка)
3 . Разверните, а затем сложите пополам вертикально (еще одна горная складка). Затем разрежьте по напечатанной линии от загнутого края до середины «страницы»
.4 .Сложите верхнюю левую часть (складка впадины), повторите то же самое под
.
5 . Разверните, бумага должна выглядеть так, зигзагообразный узор из складок с центральным разрезом.
6 . Снова сложите пополам вдоль, как на шаге 2. Бумага раскроется вот так.
7 .Вдавите бумагу в себя так, чтобы центральная «коробка» перевернулась, и у вас остался крест из бумаги. Осторожно сложите пополам, чтобы получился буклет.
8 . Пролистайте буклет, чтобы найти первую страницу, теперь вы можете немного отрегулировать края, если необходимо, и аккуратно согнуть.
Вот и готовый буклет.
Вот набор из четырех распечатанных и сложенных мини-книг по математике:
Войти | Создать аккаунт
Премиум ресурсы
У нас также есть дополнительный набор из 8 мини-буклетов для решения проблем Number Logic.