Сложные задачи с цифрами, задания на логику, математику | 59.ru
Все новостиРогозин в ДНР взял позывной Космос: новости вокруг СВО за 25 октября
Семьи мобилизованных и добровольцев из Перми освободили от оплаты детсадов
Власти Прикамья объяснили, как семьям мобилизованных получить выплаты на детей
На спецоперации погиб 39-летний старший сержант из Прикамья
Фотограф из Прикамья запечатлел солнечное затмение 25 октября
Наблюдала вся страна. Самые завораживающие кадры солнечного затмения
Экс-главе УКС Прикамья Дмитрию Левинскому пришла повестка, но на СВО он не поедет из-за уголовных дел
В Перми должны строить парки в долинах Егошихи и Данилихи, но этого не происходит. Почему?
Пермякам предложили дополнительное обучение на рабочие профессии
Минтранс Прикамья и «Уральские авиалинии» объяснили, почему рейсы в Минск отменили за день до вылета
«Самолет-то уже улетел, а ты летишь к земле»: у пермяка во время прыжка не раскрылся парашют
Во время спецоперации погиб 20-летний механик из Кунгура
Жителям Прикамской деревни провели газопровод
Между логом и гаражами рядом с ЖК «Арсенал» планируют построить многоквартирный дом
Все предприятия будут шить военную экипировку: о чем говорили на совете по нуждам спецоперации
Депутаты Заксобрания Прикамья поддержали новый закон о запрете ЛГБТ-пропаганды
Метать гранаты или зашивать раны? Пермский врач рассказал, к чему готовят мобилизованных медработников
За день до старта «Уральские авиалинии» отменили полеты из Перми в Минск
«И знаете, что было дальше? Банк тут же заблокировал карту»: как близкие мобилизованных пытаются оформить кредитные каникулы
Сервис «Работа.
ру» рассказал, какие вакансии в Перми сейчас самые высокооплачиваемые
Пермякам рекомендовали проверить исправность общедомового счетчика
Фонд «Дедморозим» просит помощи пермяков: на выездную службу для тяжелобольных детей нужны 1,6 миллиона
Перед возгоранием на Пермском пороховом заводе, где погибли три человека, произошло короткое замыкание
В Перми с опережением графика начнут заселение третьей очереди дома на Водниках
Аэродрама Ейска. Почему военные самолеты летали над городом и как перестали после трагедии с 15 погибшими
«Сейчас самое время начинать свой бизнес»: многодетная мама рассказала, как прогорела, а потом твердо встала на ноги
Как забронировать речной круиз с максимальной выгодой: расскажет туроператор
ФСИН Прикамья планирует провести капремонт СИЗО № 1 за 49 миллионов. Это объект культурного наследия
Пермские абитуриенты пройдут «Детектор лжи» и познакомятся с университетской жизнью
«Алкоголь в армии реально убивает».
Военный — о том, что ему помогло выжить на Украине
В Перми нашли пропавшего день назад 11-летнего мальчика
Можно ли есть на завтрак одни яйца? Отвечают врачи
Под Пермью на две с половиной недели закроют мост через Мулянку
Противно не было, недомогание — было. Пермяк поставил вакцину «в нос» и поделился опытом
Кандидатуру Игоря Сапко на пост омбудсмена в Прикамье поддержала уполномоченный по правам человека в РФ
В соцсетях пишут, что в Березниках подросток хотел купить ружье. В полиции рассказали, что произошло
Часть пособий перестанут приходить на обычные карты — кого это коснется
В понедельник после школы домой не вернулся 11-летний ребенок. Нужна помощь в поисках
Военный следственный отдел по Пермскому гарнизону опубликовал телефоны для участников спецоперации, мобилизованных и их семей
Все новости
Не бойтесь потерять голову, решая эти задания. Подумаешь, с кем не бывает
org/Person»>Инфографика: Виталий Калистратов / Сеть городских порталовПоделиться
Иногда, чтобы дать правильный ответ, мало дочитать до конца вопрос — нужно еще понять его. В этом тесте есть и такие задания, условия которых, возможно, придется перечитать дважды. Но никто и не говорил, что будет легко. Вы ведь все равно не боитесь трудностей?
Илья Ненко
Шеф-редактор национальной редакции
ЗнанияМатематикаМозгТестШкольные заданияШкольные знанияЦифрыМатематические бои
- ЛАЙК11
- СМЕХ3
- УДИВЛЕНИЕ0
- ГНЕВ0
- ПЕЧАЛЬ0
Увидели опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter
КОММЕНТАРИИ14
Читать все комментарии
Что я смогу, если авторизуюсь?
ПРАВИЛА КОММЕНТИРОВАНИЯ
0 / 1400Этот сайт защищен reCAPTCHA и Google. Применяются Политика конфиденциальности и Условия использования.
Новости СМИ2
Новости СМИ2
Сложные задачи, от которых в тебе проснется любовь к математике
Увы, далеко не каждому из нас в школе нравилась математика.
Кого-то отвратили от царицы наук горе-педагоги. У других были в то время иные интересы и приоритеты. Занятно, что рано или поздно даже самые отъявленные гуманитарии начинают испытывать к математике живой интерес. Ученые всячески это поощряют: как-никак математика и логика с годами нужны нам как воздух. Человек, регулярно решающий головоломки, живет дольше, и жизнь у него куда интереснее. Сложные задачи из нашей сегодняшней статьи послужат отличной смазкой для шестеренок в твоей голове!
Задача № 1
Сколько раз можно от 25 отнять 5?
© DepositphotosЗадача № 2
Дано: 10 + 3 = 1. А чему при тех же условиях будет равно 9 + 4 ?
© DepositphotosЗадача № 3
Когда Пете было 6 лет, он вбил в дерево у своего дома гвоздь
Задача № 4
Продолжи последовательность: 7.
645; 5.764; 4.576 ?
Задача № 5
Дай ответ на вопрос: сколько сторон у круга?
© DepositphotosЗадача № 6
В корзине лежит 6 яблок. Раздели их между 6 детьми так, чтобы каждому досталось по яблоку, и еще одно осталось лежать в корзине
Задача № 7
На прошлый день рождения девочке исполнилось 10. В следующий раз девочка будет праздновать 12-й день рождения. При каких условиях такое возможно?
© DepositphotosЗадача № 8
Царскому повару нужно варить яйцо в кипятке для своего владыки ровнехонько 2 минуты и ни секундой больше. Увы, у повара под рукой есть лишь песочные часы на 3, 4 и 5 минут. Как повару управиться с задачей?
© DepositphotosЗадача № 9
В полночь пошел снег. Можно ли предположить, что ровно через 96 часов на небе будет сиять солнце?
© DepositphotosОтветы:
1. Чисто математический ответ даст даже ребенок, и ответом этим будет пять.
2. Если речь идет о часах, то всё сходится. К 10 часам добавить 3, и настанет час ночи. Если решать второй пример согласно той же логике, то ответ будет таким же.
3. Петя не учел, что растет-то у деревьев крона! Потому спустя 20 лет гвоздь останется на той же высоте, что и был.
4. Приглядись внимательно и увидишь, что финальная цифра предыдущего числа в каждом случае «сползает» вперед. Посему следующим числом в последовательности будет 6.457.
6. Задачка решается просто: пяти детям раздаем по яблоку, а шестому отдаем последнее оставшееся, не вынимая его из корзины.
7. Такая формулировка будет правдива лишь в один день. В тот самый, когда девочка будет праздновать 11-летие!
8. Повар ставит воду на огонь и запускает двое часов одновременно, на три и на пять минут. Когда трехминутные часы заканчиваются, повару нужно будет бросить в кипяток яйца.
Вот и всё!9. Видишь ли, 96 часов — это ровнехонько 4 суток. А через 4 суток снова будет полночь!
Надеемся, наши сложные задачки оказались для тебя не такими уж и сложными. Успехов с головоломками в будущем!
Фото на превью Depositphotos
Поделиться
Редакция Офигенно
Это творческая мастерская, работники которой не спят днем и ночью, генерируя новые идеи. Если судьба занесла тебя на «Офигенно», значит, ты попал в особый мир, который заставит тебя переживать самые разнообразные эмоции — от желания разбить монитор до слёз восторга! Как бы то ни было, заверяем тебя: здесь ты найдешь миллион уникальных историй со всех уголков мира!
10 сложных математических задач | Самые сложные математические задачи с ответами
В 2019 году математики наконец решили математическую головоломку, которая десятилетиями ставила их в тупик. Это называется диофантовым уравнением, и его иногда называют «суммированием трех кубов»: найти x, y и z такие, что x³+y³+z³=k, для каждого k от одного до 100.
На поверхности, кажется легко. Можете ли вы придумать целые числа для x, y и z, чтобы x³+y³+z³=8? Конечно. Один из ответов: x = 1, y = -1 и z = 2. Но как насчет целых чисел для x, y и z, чтобы x³+y³+z³=42?
Это оказалось намного сложнее — например, никто не мог решить эти целые числа в течение 65 лет, пока суперкомпьютер, наконец, не нашел решение для 42. (Для протокола: x = -80538738812075974, y = 80435758145817515 , и z = 12602123297335631. Очевидно.)
В этом прелесть математики: на все всегда есть ответ, даже если на его поиск уйдут годы, десятилетия или даже столетия. Итак, вот еще девять чрезвычайно сложных математических задач, которые когда-то казались неразрешимыми, пока математики не нашли прорыв.
ПЛЮС:
1
Гипотеза Пуанкаре
Popular Science Monthly Volume 82 [общественное достояние]Wikimedia Commons
В 2000 году Математический институт Клэя, некоммерческая организация, занимающаяся «расширением и распространением математических знаний», попросил мир решить семь математических задач и предложил 1 000 000 долларов каждому.
Все еще с нами?
Столетие спустя, в 2003 году, русский математик Григорий Перельман опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре на современном открытом математическом форуме arXiv. Доказательство Перельмана содержало несколько небольших пробелов и основывалось непосредственно на исследованиях американского математика Ричарда Гамильтона. Это было новаторским, но скромным.
После того, как математический мир потратил несколько лет на проверку деталей работы Перельмана, начались награждения. Перельману предложили Премию Тысячелетия в миллион долларов, а также Филдсовскую медаль, которую часто называют Нобелевской премией по математике. Перельман отверг оба. Он сказал, что его работа была на благо математики, а не на личную выгоду, а также что Гамильтон, заложивший основу для его доказательства, по крайней мере, заслуживает наград.
2
Великая теорема Ферма
Wikimedia Commons
Пьер де Ферма был французским юристом и математиком 17-го века.
Это просто написать. Существует множество троек целых чисел (x,y,z), удовлетворяющих условию x²+y²=z². Они известны как пифагорейские тройки, такие как (3,4,5) и (5,12,13). Теперь, любые трио (x,y,z) удовлетворяют условию x³+y³=z³? Ответ — нет, и это Великая теорема Ферма.
Ферма, как известно, написал Великую теорему от руки на полях учебника вместе с комментарием о том, что у него есть доказательство, но он не может поместить его на поля. На протяжении веков математический мир задавался вопросом, действительно ли Ферма
Перенесемся через 330 лет после смерти Ферма в 1995 год, когда британский математик сэр Эндрю Уайлс наконец решил одну из старейших открытых задач в истории.
За свои усилия Уайлс был посвящен в рыцари королевой Елизаветой II и был награжден уникальной почетной табличкой вместо Филдсовской медали, поскольку он был чуть выше официального предельного возраста для получения Филдсовской медали.
Уайлсу удалось объединить новые исследования в самых разных областях математики, чтобы решить классический вопрос теории чисел Ферма. Одна из этих тем, эллиптические кривые, была совершенно не открыта во времена Ферма, что заставило многих поверить в то, что у Ферма никогда не было доказательства его Великой теоремы.
3
Классификация конечных простых групп.
Wikimedia Commons
От сборки кубика Рубика до доказательства факта обмена телами на Futurama , абстрактная алгебра имеет широкий спектр приложений. Алгебраические группы — это наборы, которые следуют нескольким основным свойствам, таким как наличие «элемента идентичности», который работает как добавление 0.
Группы могут быть конечными или бесконечными, и если вы хотите знать, как выглядят группы определенного размера n, это может стать очень сложным в зависимости от вашего выбора п .
Если n равно 2 или 3, эта группа может выглядеть только одним способом. Когда n достигает 4, есть две возможности. Естественно, математикам нужен был исчерпывающий список всех возможных групп любого заданного размера.
На завершение полного списка ушли десятилетия из-за трудностей с уверенностью в том, что он действительно полный. Одно дело описать, как выглядит бесконечное множество групп, но еще сложнее быть уверенным, что список охватывает все. Вероятно, величайший математический проект 20-го века, классификация конечных простых групп была организована гарвардским математиком Дэниелом Горенштейном, который в 1972 изложил чрезвычайно сложный план.
К 1985 году работа была почти завершена, но она занимала так много страниц и публикаций, что было немыслимо, чтобы один человек рецензировал ее.
Часть за частью многие аспекты доказательства были в конечном счете проверены, и полнота классификации была подтверждена.
К 1990-м годам доказательство получило широкое признание. Последующие усилия были предприняты для упрощения титанического доказательства до более управляемого уровня, и этот проект все еще продолжается сегодня.
4
Теорема о четырех цветах
Индуктивная нагрузка [CC BY-SA 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)]Wikimedia Commons
Это так же легко заявить, как и трудно доказать.
Возьмите любую карту и четыре карандаша. Можно раскрасить каждый штат (или страну) на карте, следуя одному правилу: штаты, имеющие общую границу, не окрашиваются в один и тот же цвет.
Тот факт, что любую карту можно раскрасить пятью цветами — теорема о пяти красках, — был доказан в XIX веке.век. Но сокращение этого числа до четырех заняло время до 1976 года.
Два математика из Университета Иллинойса, Урбана-Шампейн, Кеннет Аппель и Вольфганг Хакан, нашли способ сократить доказательство до большого конечного числа случаев.
С помощью компьютера они тщательно проверили почти 2000 случаев и получили доказательства беспрецедентного стиля.
Доказательство Аппеля и Хакана, вероятно, спорное, поскольку оно было частично задумано в уме машины, в конечном итоге было принято большинством математиков. С тех пор доказательство стало гораздо более распространенным, если его часть была проверена компьютером, но Аппель и Хакан проложили путь.
5
(Независимость) гипотезы континуума
Wikimedia Commons
В конце 19 века немецкий математик по имени Георг Кантор поразил всех, выяснив, что бесконечности бывают разных размеров, называемых мощностями. Он доказал фундаментальные теоремы о количестве элементов, которые современные математики обычно изучают на уроках дискретной математики.
Кантор доказал, что множество действительных чисел больше, чем множество натуральных чисел, которое мы записываем как |ℝ|>|ℕ|. Было легко установить, что размер натуральных чисел, |ℕ|, является первым бесконечным размером; никакое бесконечное множество не меньше ℕ.
Настоящие числа больше, но являются ли они вторым бесконечным размером? Это оказалось гораздо более сложным вопросом, известным как гипотеза континуума (CH).
Если CH истинно, то |ℝ| является вторым бесконечным размером, и нет бесконечных множеств меньше ℝ, но больше ℕ. И если CH ложно, то между ними есть хотя бы один размер.
Так какой же ответ? Здесь дело принимает оборот.
CH доказал свою независимость относительно базовых аксиом математики. Оно может быть истинным, и логических противоречий не последует, но может быть и ложным, и логических противоречий не последует.
Это странное положение вещей, но не такое уж редкое в современной математике. Возможно, вы слышали об аксиоме выбора, еще одном независимом утверждении. Доказательство этого результата растянулось на десятилетия и, естественно, разделилось на две основные части: доказательство непротиворечивости CH и доказательство непротиворечивости отрицания CH.
Первая половина написана благодаря Курту Гёделю, легендарному австро-венгерскому логику.
Его математическая конструкция 1938 года, известная как конструируемая Вселенная Гёделя, доказала совместимость CH с базовыми аксиомами и до сих пор является краеугольным камнем классов теории множеств. Вторая половина преследовалась еще два десятилетия, пока Пол Коэн, математик из Стэнфорда, не решил ее, изобретя целый метод доказательства в теории моделей, известный как «вынуждение».
Половины доказательства, полученные Гёделем и Коэном, требуют изучения теории множеств с высшим образованием, поэтому неудивительно, что эта уникальная история была эзотерической за пределами математических кругов.
6
Теоремы Гёделя о неполноте
Алехандро Маллеа/Из книги Герберта Эндертона «Математическое введение в логику». Помимо доказательств, Гёдель также любил доказывать, возможно ли доказательство . Его теоремы о неполноте часто понимают неправильно, так что у вас есть прекрасная возможность их прояснить.
Первая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что в любом языке доказательств всегда есть недоказуемые утверждения. Всегда есть что-то истинное, что вы не можете доказать правдой. Можно понять (не математически строгую) версию рассуждения Гёделя, если хорошенько подумать. Так что пристегнитесь, вот оно: рассмотрите утверждение: «Это утверждение не может быть доказано».
Подумайте над каждым случаем, чтобы понять, почему это пример истинного, но недоказуемого утверждения. Если оно ложно, то и то, что оно говорит, ложно, и тогда можно доказать, что оно истинно, а это противоречиво, поэтому этот случай невозможен. С другой стороны, если бы у него было доказательство, то это доказательство доказывало бы его истинность… делая истинным то, что у него нет доказательств, что противоречиво, убивая это дело. Таким образом, мы логически остаемся со случаем, когда утверждение истинно, но не имеет доказательства. Да, у нас тоже голова кружится.
Но следуйте этому почти-но-не-совсем-парадоксальному трюку, и вы проиллюстрируете справедливость первой теоремы Гёделя о неполноте.
Вторая теорема Гёделя о неполноте так же странна. В нем говорится, что математические «формальные системы» не могут доказать свою непротиворечивость. Последовательная система — это та, которая не вызовет у вас никаких логических противоречий.
Вот как вы можете это представить. Представьте, что Аманда и Боб имеют в виду набор математических аксиом — базовых математических правил. Если Аманда может использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система аксиом Боба свободна от противоречий, то Боб не может использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система Аманды не приводит к противоречиям.
Поэтому, когда математики обсуждают наилучший выбор основных аксиом математики (это происходит гораздо чаще, чем вы можете себе представить), очень важно знать об этом явлении.
7
Теорема о простых числах
Пользователь:Dcoetzee [CC0]
Существует множество теорем о простых числах.
Один из самых простых фактов — что существует бесконечно много простых чисел — можно даже очаровательно вписать в форму хайку.
Теорема о простых числах более тонкая; он описывает распределение простых чисел вдоль числовой прямой. Точнее, он говорит, что для натурального числа N количество простых чисел меньше N приблизительно равно N/log(N)… с обычными статистическими тонкостями к слову «приблизительно».
Опираясь на идеи середины XIX века, два математика, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле Пуссен, независимо друг от друга доказали теорему о простых числах в 1898 году. и упрощения. Но влияние теоремы только возросло.
Полезность теоремы о простых числах огромна. Современные компьютерные программы, работающие с простыми числами, полагаются на него. Это основа методов проверки простоты и всей связанной с этим криптологии. 92-4ac))/(2a), которое, возможно, было трудно запомнить в старшей школе, но вы должны признать, что это удобное решение в закрытой форме.
Теперь, если мы подойдем к ax³+bx²+cx+d=0, можно найти замкнутую форму для «x=», хотя она намного объемнее, чем квадратичная версия.
Также возможно, хотя и некрасиво, сделать это для полиномов степени 4: ax⁴+bx³+cx²+dx+f=0.
Цель сделать это для многочленов любой степени была отмечена еще в 15 веке. Но начиная с 5-й степени закрытая форма невозможна. Написание форм, когда они возможны, — это одно, но как математики доказали, что это невозможно, начиная с 5?
Мир только начал осознавать гениальность французского математика Эвариста Галуа, когда он умер в возрасте 20 лет в 1832 году. Его жизнь включала в себя месяцы, проведенные в тюрьме, где он был наказан за свою политическую активность, написав остроумные, но необработанные математические ученым, и это закончилось роковой дуэлью.
Идеи Галуа были полностью поняты спустя десятилетия после его смерти, но в конечном итоге они превратились в целую теорию, которая теперь называется теорией Галуа. Основная теорема этой теории дает точные условия, когда многочлен можно «решить в радикалах», то есть он имеет замкнутую форму, подобную квадратичной формуле.
Все полиномы до степени 4 удовлетворяют этим условиям, но начиная со степени 5 некоторые не удовлетворяют, поэтому нет общей формы для решения любой степени выше 4.
9
Трисекция угла
Сам [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]Wikimedia Commons
Чтобы закончить, давайте вернемся в историю.
Древние греки задавались вопросом построения линий и форм в различных соотношениях, используя такие инструменты, как циркуль без опознавательных знаков и линейку. Если кто-то нарисует перед вами угол на листе бумаги и даст вам линейку без пометок, простой циркуль и ручку, вы сможете провести линию, которая делит этот угол ровно пополам. Это быстрые четыре шага, хорошо проиллюстрированные вот так, и греки знали их две тысячи лет назад.
Что ускользнуло от них, так это разрезание угла на три части. Он оставался неуловимым буквально 15 столетий, с сотнями тщетных попыток найти сооружение.
Оказывается, такая конструкция невозможна.
Современные студенты-математики изучают задачу о трисекции угла и способы доказательства ее невозможности на занятиях по теории Галуа. Но, учитывая вышеупомянутый период времени, который потребовался математическому миру для обработки работы Галуа, первое доказательство проблемы было сделано другим французским математиком, Пьером Ванцелем. Он опубликовал свою работу в 1837 году, через 16 лет после смерти Галуа, но за девять лет до того, как была опубликована большая часть работ Галуа.
В любом случае, их взгляды схожи, что превращает вопрос построения в вопрос о свойствах некоторых репрезентативных многочленов. С помощью этих методов стали доступны многие другие вопросы древнего строительства, что закрыло некоторые из старейших открытых математических вопросов в истории.
Так что, если вы когда-нибудь отправитесь в древнюю Грецию, вы можете сказать им, что их попытки решить проблему трисекции угла тщетны.
Дэйв Линклеттер
Дэйв Линклеттер — доктор философии.
Самые сложные математические задачи и уравнения
Getty/Creative Commons
1
Гипотеза Коллатца
Дэйв Линклеттер
В сентябре 2019 года появились новости о прогрессе в решении этого 82-летнего вопроса благодаря плодовитому математику Теренсу Тао. И хотя история прорыва Тао многообещающая, проблема еще не решена полностью.
Еще раз о гипотезе Коллатца: все дело в показанной выше функции f(n), которая берет четные числа и делит их пополам, а нечетные утраиваются, а затем прибавляются к 1. Возьмите любое натуральное число, примените f , затем снова и снова применяйте f. В конечном итоге вы получаете 1 для каждого числа, которое мы когда-либо проверяли. Гипотеза состоит в том, что это верно для всех натуральных чисел (целых положительных чисел от 1 до бесконечности).
Недавняя работа Тао является почти решением гипотезы Коллатца в некоторых тонкостях. Но он, скорее всего, не может адаптировать свои методы для полного решения проблемы, как впоследствии объяснил Тао.
Так что, возможно, мы будем работать над этим еще несколько десятков лет.
Гипотеза живет в математической дисциплине, известной как Динамические системы, или в изучении ситуаций, которые меняются со временем полупредсказуемым образом. Вроде бы простой, безобидный вопрос, но именно это делает его особенным. Почему на такой элементарный вопрос так трудно ответить? Он служит ориентиром для нашего понимания; как только мы ее решим, мы сможем перейти к гораздо более сложным вопросам.
Изучение динамических систем может стать более надежным, чем кто-либо может себе представить сегодня. Но нам нужно решить гипотезу Коллатца, чтобы предмет процветал.
2
Гипотеза Гольдбаха
Creative Commons
Одну из величайших неразгаданных тайн математики также очень легко написать. Гипотеза Гольдбаха гласит: «Каждое четное число (больше двух) есть сумма двух простых чисел». Вы проверяете это в уме на маленькие числа: 18 — это 13+5, а 42 — это 23+19.
. Компьютеры проверили гипотезу на наличие чисел до некоторой величины. Но нам нужно доказательство для всех натуральных чисел.
Гипотеза Гольдбаха возникла из писем в 1742 году между немецким математиком Кристианом Гольдбахом и легендарным швейцарским математиком Леонардом Эйлером, считающимся одним из величайших в истории математики. Как выразился Эйлер, «я рассматриваю [это] как вполне достоверную теорему, хотя и не могу ее доказать».
Эйлер, возможно, почувствовал, что делает эту проблему нелогичной для решения. Когда вы смотрите на большие числа, у них больше способов записать в виде суммы простых чисел, а не меньше. Например, 3+5 — единственный способ разбить 8 на два простых числа, а 42 можно разбить на 5+37, 11+31, 13+29.и 19+23. Таким образом, кажется, что гипотеза Гольдбаха — преуменьшение для очень больших чисел.
Тем не менее, доказательство гипотезы для всех чисел до сих пор ускользает от математиков. Это один из старейших открытых вопросов во всей математике.
3
Гипотеза о простых числах-близнецах
Вольфрам Альфа
Наряду с гипотезой Гольдбаха гипотеза о простых числах-близнецах является самой известной в теории чисел — или изучении натуральных чисел и их свойств, часто с участием простых чисел. Поскольку вы знаете эти числа с начальной школы, формулировать предположения несложно.
Когда два простых числа имеют разность 2, они называются простыми числами-близнецами. Таким образом, 11 и 13 являются простыми числами-близнецами, как и 599 и 601. Итак, это факт Теории чисел дня 1, что существует бесконечно много простых чисел. Итак, бесконечно ли много простых чисел-близнецов ? Гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что да.
Давайте углубимся. Первое в паре простых чисел-близнецов, за одним исключением, всегда на 1 меньше, чем кратное 6. Таким образом, второе простое число всегда на 1 больше, чем кратное 6. Вы можете понять почему, если будете готовы следуйте немного опрометчивой теории чисел.
Все простые числа после 2 нечетные. Четные числа всегда на 0, 2 или 4 больше, чем кратные 6, в то время как нечетные числа всегда на 1, 3 или 5 больше, чем кратные 6. Ну, одна из этих трех возможностей для нечетных чисел вызывает проблему. Если число на 3 больше, чем кратное 6, то оно имеет множитель 3. Наличие множителя 3 означает, что число не является простым (за исключением самого числа 3). И именно поэтому каждое третье нечетное число не может быть простым.
Как твоя голова после этого абзаца? А теперь представьте головную боль всех, кто пытался решить эту проблему за последние 170 лет.
Хорошая новость заключается в том, что за последнее десятилетие мы добились многообещающего прогресса. Математикам удавалось решать все более и более близкие версии гипотезы о простых числах-близнецах. Это была их идея: как доказать, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 2? Как насчет того, чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 70 000 000? Это было ловко доказано в 2013 году Итан Чжаном из Университета Нью-Гэмпшира.
В течение последних шести лет математики улучшали это число в доказательстве Чжана, уменьшая его с миллионов до сотен. Уменьшение его до 2 будет решением гипотезы о простых числах-близнецах. Самое близкое, к чему мы подошли — с учетом некоторых тонких технических допущений — это 6. Время покажет, будет ли последний шаг от 6 к 2 прямо за углом, или эта последняя часть будет бросать вызов математикам еще десятилетиями.
4
Гипотеза Римана
Дэйв Линклеттер
Современные математики, вероятно, согласятся с тем, что гипотеза Римана — самая важная открытая проблема во всей математике. Это одна из семи задач премии тысячелетия, за решение которой назначено вознаграждение в 1 миллион долларов. Он имеет глубокие последствия для различных областей математики, но он также достаточно прост, чтобы мы могли объяснить основную идею прямо здесь.
Существует функция, называемая дзета-функцией Римана, написанная на изображении выше.
Для каждого s эта функция дает бесконечную сумму, которая требует некоторого базового исчисления даже для самых простых значений s. Например, если s=2, то 𝜁(s) — это хорошо известный ряд 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …, который странным образом в сумме дает ровно 𝜋²/6. Когда s — комплексное число, которое выглядит как a+b𝑖, используя мнимое число 𝑖, найти 𝜁(s) становится сложно.
Настолько сложный, что стал главным математическим вопросом. В частности, гипотеза Римана имеет место, когда 𝜁(s)=0; официальное заявление гласит: «Каждый нетривиальный нуль дзета-функции Римана имеет действительную часть 1/2». На плоскости комплексных чисел это означает, что функция имеет определенное поведение вдоль специальной вертикальной линии. Гипотеза состоит в том, что поведение продолжается вдоль этой линии бесконечно.
Гипотеза и дзета-функция принадлежат немецкому математику Бернхарду Риману, который описал их в 1859 году. Риман разработал их, изучая простые числа и их распределение.
Спустя 160 лет наше понимание простых чисел расцвело, и Риман никогда бы не подумал о мощи суперкомпьютеров. Но отсутствие решения гипотезы Римана является серьезной неудачей.
Если бы гипотеза Римана была решена завтра, это открыло бы лавину дальнейшего прогресса. Это было бы огромной новостью по всем предметам теории чисел и анализа. До тех пор гипотеза Римана остается одной из крупнейших плотин на реке математических исследований.
5
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
Creative Commons
Гипотеза Бёрча и Суиннертона-Дайера — еще одна из шести нерешенных проблем тысячелетия, и это единственная другая, которую мы можем хотя бы отдаленно описать простым языком. Эта гипотеза затрагивает математическую тему, известную как эллиптические кривые.
Когда мы недавно писали о самых сложных математических задачах, которые были решены, мы упомянули одно из величайших достижений математики 20-го века: решение Великой теоремы Ферма.
Сэр Эндрю Уайлс решил ее с помощью эллиптических кривых. Итак, вы можете назвать это очень мощной новой отраслью математики.
Короче говоря, эллиптическая кривая — это особый вид функции. Они принимают безобидную форму y²=x³+ax+b. Оказывается, у таких функций есть определенные свойства, которые позволяют лучше понять такие математические темы, как алгебра и теория чисел.
Британские математики Брайан Берч и Питер Суиннертон-Дайер разработали свою гипотезу в 1960-х годах. Его точное утверждение является очень техническим и развивалось с годами. Одним из главных распорядителей этой эволюции был не кто иной, как Уайлс. Чтобы увидеть его текущий статус и сложность, ознакомьтесь с этим знаменитым обновлением, сделанным Уэллсом в 2006 году.0003
6
Проблема числа поцелуев
JJ Harrison/Creative Commons
Широкая категория задач по математике называется задачами упаковки сфер. Они варьируются от чистой математики до практических приложений, обычно применяя математическую терминологию к идее размещения множества сфер в заданном пространстве, как фрукты в продуктовом магазине.
Некоторые вопросы в этом исследовании имеют полные решения, в то время как некоторые простые ставят нас в тупик, например, проблема числа поцелуев.
Когда в каком-то регионе находится множество сфер, каждая сфера имеет число поцелуев, то есть количество других сфер, с которыми она соприкасается; если вы касаетесь 6 соседних сфер, то ваше число поцелуев равно 6. Ничего сложного. У упакованной связки сфер будет среднее число поцелуев, которое помогает математически описать ситуацию. Но основной вопрос о количестве поцелуев остается без ответа.
Во-первых, примечание о размерах. Измерения имеют особое значение в математике: они являются независимыми координатными осями. Ось X и ось Y показывают два измерения координатной плоскости. Когда персонаж в научно-фантастическом сериале говорит, что отправляется в другое измерение, это не имеет математического смысла. Вы не можете перейти к оси X.
Одномерная вещь — это линия, а двумерная — плоскость. Для этих малых чисел математики доказали максимально возможное число поцелуев для сфер с таким количеством измерений.
Это 2, когда вы находитесь на одномерной линии — одна сфера слева от вас, а другая справа от вас. Есть доказательство точного числа для 3-х измерений, хотя это длилось до 1950-х годов.
За пределами трех измерений проблема поцелуев в основном не решена. Математики постепенно сократили возможности до довольно узких диапазонов до 24 измерений, причем некоторые из них точно известны, как вы можете видеть на этой диаграмме. Для больших чисел или общей формы проблема широко открыта. Есть несколько препятствий на пути к полному решению, включая вычислительные ограничения. Так что ожидайте постепенного прогресса в решении этой проблемы в ближайшие годы.
7
Проблема развязывания
Creative Commons
Простейшая версия задачи о распутывании решена, так что в этой истории уже есть некоторый успех. Решение полной версии задачи будет еще большим триумфом.
Возможно, вы не слышали о математическом предмете «Теория узлов».
Его преподают практически не в средних школах, а в нескольких колледжах. Идея состоит в том, чтобы попытаться применить формальные математические идеи, такие как доказательства, к узлам, например… к тому, чем вы завязываете свои ботинки.
Например, вы можете знать, как завязать «квадратный узел» и «бабушкин узел». У них те же шаги, за исключением того, что один поворот меняется от квадратного узла к бабушкиному узлу. Но можете ли вы доказать, что эти узлы разные? Ну, теоретики узлов могут.
Загадкой Святого Грааля сторонников теории узлов был алгоритм, позволяющий определить, действительно ли какой-то запутанный беспорядок завязан узлом или его можно распутать до нуля. Крутая новость заключается в том, что это было достигнуто! За последние 20 лет для этого было написано несколько компьютерных алгоритмов, и некоторые из них даже анимируют процесс.
Но задача распутывания остается вычислительной. С технической точки зрения известно, что проблема развязывания находится в NP, в то время как мы не знаем, находится ли она в P.
Это примерно означает, что мы знаем, что наши алгоритмы способны развязывать узлы любой сложности, но чем больше они становятся сложный, он начинает занимать невероятно много времени. На данный момент.
Если кто-то придумает алгоритм, способный развязать любой узел за так называемое полиномиальное время, это полностью положит конец проблеме развязывания узлов. С другой стороны, кто-то может доказать, что это невозможно, и что вычислительная интенсивность задачи «Распутывание узлов» неизбежно велика. В конце концов, мы узнаем.
8
Большой кардинальный проект
Creative Commons
Если вы никогда не слышали о больших кардиналах, будьте готовы узнать. В конце 19 века немецкий математик Георг Кантор выяснил, что бесконечность бывает разных размеров. Некоторые бесконечные множества действительно содержат больше элементов, чем другие, и это доказано Кантором.
Существует первый бесконечный размер, наименьшая бесконечность, которая обозначается ℵ₀.
Это еврейская буква алеф; это читается как «алеф-ноль». Это размер множества натуральных чисел, поэтому записывается |ℕ|=ℵ₀.
Далее, некоторые общие наборы больше, чем размер ℵ₀. Главный пример, который доказал Кантор, заключается в том, что множество действительных чисел больше, пишется |ℝ|>ℵ₀. Но реалы не такие большие; мы только начинаем работать с бесконечными размерами.
Для действительно больших вещей математики продолжают открывать все большие и большие размеры, или то, что мы называем большими кардиналами. Это процесс чистой математики, который выглядит следующим образом: кто-то говорит: «Я придумал определение кардинала и могу доказать, что этот кардинал больше, чем все известные кардиналы». Затем, если их доказательство верно, это новый крупнейший из известных кардиналов. Пока кто-то другой не придумает большего.
На протяжении 20-го века границы известных крупных кардиналов неуклонно расширялись. Сейчас есть даже красивая вики известных крупных кардиналов, названных в честь Кантора.
Итак, это когда-нибудь закончится? Ответ в целом да, хотя это становится очень сложным.
В каком-то смысле вершина большой кардинальной иерархии уже видна. Были доказаны некоторые теоремы, которые налагают своего рода потолок на возможности больших кардиналов. Но остается много открытых вопросов, и совсем недавно, в 2019 году, были назначены новые кардиналы.. Вполне возможно, что в ближайшие десятилетия мы откроем еще больше. Надеюсь, в конечном итоге у нас будет полный список всех крупных кардиналов.
9
Что не так с 𝜋+e?
Эндрю Дэниелс
Учитывая все, что мы знаем о двух самых известных математических константах, 𝜋 и e, немного удивительно, как мы теряемся, когда их складываем вместе.
Эта загадка связана с алгебраическими действительными числами. Определение: действительное число является алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами.
Например, x²-6 — многочлен с целыми коэффициентами, поскольку 1 и -6 — целые числа. Корни x²-6=0 равны x=√6 и x=-√6, так что это означает, что √6 и -√6 являются алгебраическими числами.
Все рациональные числа и корни рациональных чисел являются алгебраическими. Так что может показаться, что «большинство» действительных чисел являются алгебраическими. Оказывается, на самом деле все наоборот. Антоним к алгебраическому — трансцендентный, и оказывается, что почти все действительные числа трансцендентны — для некоторых математических значений слова «почти все». Итак, кто алгебраичен, а кто трансцендентен?
Действительное число 𝜋 восходит к древней математике, а число e известно с 17 века. Вы, наверное, слышали об обоих, и вы думаете, что мы знаем ответы на все основные вопросы, которые можно задать о них, верно?
Ну, мы знаем, что и 𝜋, и e трансцендентны. Но почему-то неизвестно, является ли 𝜋+e алгебраическим или трансцендентным. Точно так же мы ничего не знаем о 𝜋e, 𝜋/e и других их простых комбинациях.
Таким образом, есть невероятно простые вопросы о числах, которые мы знали на протяжении тысячелетий, но которые до сих пор остаются загадкой.
10
Является ли 𝛾 Рациональным?
Дэйв Линклеттер
Вот еще одна задача, которую очень легко написать, но трудно решить. Все, что вам нужно вспомнить, это определение рациональных чисел.
Рациональные числа можно записать в виде p/q, где p и q — целые числа. Итак, 42 и -11/3 рациональны, а 𝜋 и √2 нет. Это очень простое свойство, поэтому вы думаете, что мы можем легко сказать, рациональное число или нет, верно?
Познакомьтесь с постоянной Эйлера-Маскерони 𝛾, которая является строчной греческой гаммой. Это реальное число, примерно 0,5772, в закрытой форме, что не так уж и уродливо; это похоже на изображение выше.
Изящный способ подобрать слова к этим символам: «гамма — это предел разности гармонического ряда и натурального логарифма».