Как разбить число на классы: А) Разбить число на классы 157398246,14084000,70000012,79312333415, 79312333415,114521800000,18800011603 б) как написать

Урок 11. класс миллионов. класс миллиардов. повторение пройденного материала — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок № 11. Класс миллионов. Класс миллиардов.

Повторение пройденного материала

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Как читать и записывать многозначные числа в пределах класса миллионов.

Как можно сравнивать многозначные числа, представлять в виде суммы разрядных слагаемых.

Глоссарий по теме:

Многозначные числа – это целые числа, при записи которых нужно использовать несколько цифр (знаков).

Классы и разряды чисел – в записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в каждом. Класс единиц или первый класс — это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.

Миллион – число, изображаемое в десятичной записи единицей с 6 нулями.

Миллиард – число, изображаемое в десятичной записи единицей с 9 нулями.

Сумма разрядных слагаемых. Число 523 содержит 5 сотен, 2 десятка, 3 единицы. Его можно записать в виде суммы: 523=500+20+3. Каждое слагаемое суммы называется разрядным слагаемым, число 523 представлено в виде суммы разрядных слагаемых.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 30

2. Математика: Рабочая тетрадь для 4 класса/ О. А. Рыдзе, К. А. Краснянская. – М.; СПб.: Просвещение, 2012. – с. 3-11

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сколько разрядов в каждом классе? Верно, в каждом классе три разряда.

Единицы, десятки, сотни образуют I класс – класс единиц.

Единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч образуют II класс – класс тысяч.

Единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов образуют III класс – класс миллионов.

Единицы миллиардов, десятки миллиардов, сотни миллиардов образуют IV класс – класс миллиардов.

При чтении числа, записанного вне таблицы, удобнее сначала выделить все классы: для этого необходимо разбить число на группы по три цифры справа налево, а затем прочитать слева направо группы из трех цифр добавив название класса.

Например:

9 876 543

В записи числа справа налево выделяем по три цифры, а затем читаем слева направо, называя классы.

Девять миллионов восемьсот семьдесят шесть тысяч пятьсот сорок три.

9 876 543 210

Девять миллиардов восемьсот семьдесят шесть миллионов пятьсот сорок три тысячи двести десять

На письме при записи многозначного числа принято делать разрядку (промежуток) между классами.

Правило записи многозначных чисел: многозначные числа записывают по классам, начиная с высших. Чтобы записать цифрами число, например, двенадцать миллионов четыреста пятьдесят одна тысяча семьсот сорок два, поступают так: записывают группами единицы каждого названного класса, отделяя один класс от другого небольшим промежутком (разрядкой): 12 451 742.

Если отсутствуют разряды в записи натурального числа, то вместо них записываем нули.

Любое натуральное многозначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Число 98 523 (девяносто восемь тысяч пятьсот двадцать три) содержит девять десятков тысяч, восемь единиц тысяч, пять сотен, два десятка, три единицы. Его можно записать в виде суммы:98 523 = 90 000 + 8 000 + 500 + 20 +3.

Выполним несколько тренировочных заданий

1. Какое число читается так: «Семь миллионов пять тысяч восемьсот один»?

1. 7581
2. 7005801
3. 7500801
4. 7000005801

Правильный вариант/варианты: 2

2. Впиши результат вычисления

7000 000 + 800 000 + 1 000 + 9 =

30 000 000 + 300 000 + 300 =

Правильный вариант/варианты:

7 801 009

30 300 300

Разложить число на разрядные слагаемые. Онлайн калькулятор.

Калькулятор раскладывает натуральное число на разрядные слагаемые. Возможно раскладывать числа до 18 знаков.

Введите число

Как разложить натуральное число по разрядам

Разрядные слагаемые записываются от большего к меньшему. Нули не учитываются. Двигаясь слева направо берём поочерёдно по одной цифре. Оставшиеся цифры заменяем на нули. Сумма разрядных слагаемых числа равна этому числу.

Разберём пример. Разложим число 41200 на разряды. Двигаясь слева направо по числу.
Берём первую цифру 4 после неё идёт ещё 4 цифры. Меняем их на нули и записываем 40000(четыре десятка тысяч).
Берём вторую цифру 1 после неё идёт ещё 3 цифры. Меняем их на нули и записываем 3000(три единицы тысяч).
Берём третью цифру 2 после неё идёт ещё 2 цифры. Меняем их на нули и записываем 200(две сотни).
Дальше идут нули их мы не учитываем.
41200 = 40000 + 1000 + 200

Что такое разрядное слагаемое ?

Разрядное слагаемое это натуральное число, которое начинается с цифры отличной от нуля. Остальные цифры нули.

К примеру цифры 10, 20, 300, 500, 2000 и. т.д. являются разрядными слагаемыми

Разложить число на разрядные слагаемые можно несколькими способами.

Основной — 31255 =30000 + 1000 + 200 + 50 + 5

Текстовый — 31255 = (3)три десятка тысяч, (1)одна тысяча, (2)две сотни, (5)пять десятков, (5)пять единиц

Подробный — 31255 = 3×10000 + 1×1000 + 2×100 + 5×10 +5×1

Классы чисел

Многозначные числа разбивают на группы, справа налево по 3 цифры. Эти группы называются классами числа. В каждой из этих групп цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса. Для удобства чтения числа многозначные числа разделяют пробелами между классами

123 456 789 — в данном числе 3 класса, 789 — класс единиц, 456 — класс тысяч, 123 — класс миллионов

Разряды чисел

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённую позицию — разряд. Счёт разрядов начинается справа налево. Каждые три подрядидущие справа налево разряда составляют класс.

Таблица классов и разрядов натуральных чисел

2 класс.

В этом занятии познакомимся с понятием «разрядные слагаемые» и научимся раскладывать числа на разрядные слагаемые.

Давайте решим задачу:

Красная Шапочка отправилась в гости к своей бабушке.

И взяла она с собой гостинец для бабушки – корзинку с пирожками.

У Красной Шапочки в корзинке было 10 пирожков с капустой и 7 пирожков с грибами. Сколько всего пирожков у Красной Шапочки в корзинке?

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить сложение, а именно к 10 пирожкам с капустой прибавить 7 пирожков с грибами.

10 + 7 = 17 (пирожков).

Значит, 17 пирожков всего было в корзинке у Красной Шапочки.

Обратим внимание на получившееся при решении задачи числовое выражение:

10 + 7 = 17.

Назовем все компоненты сложения.

Первое число 10 – первое слагаемое, число 7 – второе слагаемое и число 17 – сумма.

А что мы еще можем сказать про числа 10, 7 и 17?

Число 10 – это двузначное число, записанное двумя цифрами 1 и 0.

Число 10 относится к разряду десятков и равняется 1 десятку.

Число 7 – это однозначное число, записанное одной цифрой 7.

Это число относится к разряду единиц.

Заменим слагаемые 10 и 7 в нашем числовом выражении разрядными числами.

Так, первое слагаемое 10 = 1 десятку, а второе слагаемое 7 = 7 единицам.

Получили следующее числовое выражение:

1 десяток + 7 единиц = 17.

Значит, число 17 – это двузначное число, записанное двумя цифрами 1 и 7.

Обратим внимание на получившееся выражение: 1 десяток + 7 единиц = 17.

Назовем компоненты сложения.

Первое слагаемое – 1 десяток, второе слагаемое – 7 единиц, сумма – число 17.

И первое, и второе слагаемые представлены разрядными числами.

Значит, эти слагаемые можно назвать разрядными слагаемыми.

Запишем числовые выражения 10 + 7 = 17 и 1 десяток + 7единиц =17 как одно числовое выражение:

1 десяток + 7 единиц = 10 + 7 = 17.

Слагаемые 10 и 7 тоже будут разрядными слагаемыми, так 10 = 1 десятку, а 7 = 7 единицам.

Любое натуральное многозначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Например, число 53 состоит из 5 десятков и 3 единиц.

53 = 5 десятков + 3 единицы = 50 + 3

Представление числа в виде:  53 = 50 + 3 называется разложением числа на разрядные слагаемые или суммой разрядных слагаемых.

А числа 50 и 3 называются разрядными слагаемыми.

Числа 1, 10, 100, 1000 и т.д. – называются разрядными единицами.

Так, 1 – это единица разряда единиц;

10 – единица разряда десятков;

100 – единица разряда сотен и т.д.

Например, про число 50 можно сказать, что это 5 единиц разряда десятков, а про число 3 мы скажем – это 3 единицы разряда единиц.

Чтобы разложить число на разрядные слагаемые, необходимо:

1.    определить количество всех единиц какого-либо разряда, т.е. сколько в числе единиц, десятков, сотен и т.д.;

2.    записать число в виде суммы разрядных слагаемых.

Представим еще одно число, число 72, в виде разрядных слагаемых:

Подчеркнем одной чертой единицы в этом числе, а двумя чертами – десятки: 72.

Запишем число 72 в виде суммы разрядных слагаемых.

Подведем итоги урока:

Любое натуральное многозначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Представление числа в виде: 53 = 50 + 3  называется разложением числа на разрядные слагаемые или суммой разрядных слагаемых. А числа 50 и 3 называются разрядными слагаемыми.

Чтобы разложить число на разрядные слагаемые, необходимо:

1)    определить количество всех единиц какого-либо разряда, т.е. сколько в числе единиц, десятков, сотен и т. д.;

2)    записать число в виде суммы разрядных слагаемых.

Числа 1, 10, 100, 1000 и т.д. – называются разрядными единицами. Так, 1 – это единица разряда единиц; 10 – единица разряда десятков; 100 – единица разряда сотен и т.д.

ИСТОЧНИКИ

https://vimeo.com/124205288

http://znaika.ru/catalog/2-klass/matematika/Razryadnye-slagaemye

Обозначение натуральных чисел (Разряды и классы в записи числа)

Цели урока:

1) Обучающая: формировать представление о роли разрядов и классов в записи натурального числа и навык представления натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых, познакомить с нумерацией разрядов и их названиями, а также с названиями классов в записи натурального числа, создать условия для совершенствования навыка чтения и записи натуральных чисел.

2)

3) Воспитывающая: воспитать интерес к предмету математика, любознательность, наблюдательность.

Ход урока:

1. Организационный этап.

Здравствуйте. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы узнать, как вы настроены к работе на уроке.

2. Актуализация опорных знаний:

На доске записано число (например, 789 540).

— Прочитайте число. Назовите, пожалуйста, цифру, которая показывает количество единиц числа, а цифру, которая показывает количество десятков. А количество сотен, какая цифра показывает? Молодцы!

Хотелось бы напомнить, что в позиционной системе счисления позиция (место) цифры означает число.

Откройте тетради и запишите число и тему нашего урока.

3. Этап получения знаний:

Скачать видеоурок «Обозначение натуральных чисел (Разряды и классы в записи числа)»

Сегодня на уроке мы поговорим о разрядах и классах в записи числа. Узнаем такие понятия как разряд числа, разрядные единицы, разрядные слагаемые, рассмотрим классификацию классов в записи числа, а также научимся правильно читать натуральные числа.

Мы уже знаем, что натуральные числа — это числа, которые используют при счёте. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр.

Способ записи чисел, которым мы пользуемся, называется десятичной позиционной системой счисления. Значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Кроме натуральных чисел мы знаем еще число 0 (нуль). При счёте число 0 (нуль) не используется, а означает оно «ни одного». Поэтому число 0 не является натуральным!

Если запись натурального числа состоит из одного знака — одной

цифры, то его называют однозначным.

Например, числа 1, 3, 7 — однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр (различных или одинаковых), то его называют двузначным.

числа 23, 58, 66 — двузначные, точно также можно сказать и о трехзначных числах, четырехзначных и т. д.

числа 321, 555, 878 — трехзначные,

числа 2100, 5350, 9999 — четырехзначные

Многозначные натуральные числа — это натуральные числа, запись которых состоит из двух или трех или четырех и т. д. знаков. Говоря на математическом языке, многозначные натуральные числа — это двузначные, трехзначные, четырехзначные и т. д. числа.

Позиция (место), на которой стоит цифра в записи натурального числа, называется разрядом. Разряды называют, начиная с конца числа, т. е. справа налево. Рассмотрим, для наглядности число 563.

Первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда (в данном числе это цифра 3), вторая цифра, которая стоит следующей слева от первой цифры — называется цифрой второго разряда (в записанном числе это цифра 6), третья цифра — называется цифрой третьего разряда (здесь это цифра 5). Первый разряд называют также разрядом единиц, второй разряд — разрядом десятков, третий разряд — разрядом сотен и т. д.

Одна и та же цифра в записи числа может иметь разные значения в зависимости от того, в каком разряде она стоит. Если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его месте будет стоять цифра 0 (нуль).

Возьмем, например число 505. Здесь цифра 5 повторяется. Одна цифра 5 стоит в первом разряде, это значит, что в числе 5 единиц, вторая цифра 5 стоит в третьем разряде и обозначает, что в числе 5 сотен. Цифра 0 в числе 505 обозначает, что в числе отсутствует разряд десятков.

Рассмотрим число 8503. Оно состоит из 8 — ми тысяч, 5 — ти сотен, 0 десятков и 3 — ех единиц. Т. е. его можно записать следующим образом:

8503 = 8000 + 500 + 0 + 3

Числа 8000, 500, 0 и 3 называются разрядными слагаемыми числа 8503.

Числа 1, 10, 100 и т. д. называются разрядными единицами:

1 — единица первого разряда — разряда единиц,

10 — единица второго разряда — разряда десятков,

100 — единица третьего разряда — разряда сотен и т. д. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых.

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. Например, 10 единиц образуют 1 десяток, а 10 десятков образуют 1 сотню. Посмотрим это на рисунке: мы видим 1 шарик — обозначим его как 1 единицу, если соединить 10 шариков — то они уже образуют 1 десяток, а 10 десятков шариков уже составят 1 сотню.

Вернемся к числу 8503. Мы уже записывали его суммой разрядных слагаемых, у нас было записано:

8503=8000 + 500 + 0 + 3

А теперь запишем числа 8000, 500, 0 и 3 с помощью разрядных единиц. Получим:

8503 = 8*1000 + 5*100 + 0*10 + 3*1 (проговорить, *- умножение)

Первая цифра слева в записи натурального числа называется цифрой высшего разряда. Так как запись натурального числа не может начинаться с нуля, то цифра высшего разряда всегда отлична от нуля.

В записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в каждом. Класс единиц, класс тысяч, класс миллионов. Есть названия и для следующих классов — миллиарды, триллионы, квадрильоны и т. д.

Класс единиц или первый класс — это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.

Например, числа 6, 34, 148. Все цифры в записи данных чисел стоят в классе единиц.

Класс тысяч или второй класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Например, числа 5234, 12 803, 356 149. Три цифры справа в этих числах стоят в классе единиц, а остальные — в классе тысяч.

Класс миллионов или третий класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов.

Например, число 289 350 140. Первая тройка цифр, стоят в классе единиц, вторая тройка цифр — в классе тысяч, третья тройка цифр стоит в классе миллионов.

Чтобы прочитать многозначное число, мы должны разбить его на классы и затем назвать слева направо количество единиц каждого класса, добавляя название классов. Если в каком — либо из классов стоят 3 нуля, то единицы и название этого класса не произносят.

Например, прочитаем число 134 590 720. Для этого поставим цифры числа в таблицу с соответствующим им разрядом и классом. Цифра 0 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 7 — к разряду сотен, цифра 0 относится к разряду единиц тысяч, 9 — к десяткам тысяч, 5 — к сотням тысяч. Дальше цифра 4, она относится к разряду единиц миллионов, 3 — к десяткам миллионов и цифра 1 относится к разряду сотен миллионов. Теперь прочитаем число: сто тридцать четыре миллиона пятьсот девяносто тысяч семьсот двадцать.

Аналогично попробуем прочитать число 418 000 547. Занесем цифры в табличку. 7 — разряд единиц, 4 — разряд десятков, 5 — разряд сотен. Дальше следуют 3 нуля, они соответственно относятся к разрядам единиц, десятков, сотен класса тысяч. Затем идет цифра 8, она относится к разряду единиц миллионов, 1 — к разряду десятков миллионов и цифра 4 относится к разряду сотен миллионов. Читаем число: «четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь». Класс тысяч не назвали, так как там стоят три нуля.

4. Этап обобщения и закрепления нового материала.

Итак, сделаем основные выводы:

Сегодня на уроке мы узнали, что разряд числа — это позиция (место), на которой стоит цифра в записи натурального числа. Научились расписывать числа с помощью разрядных слагаемых. Рассмотрели, какие классы числа существуют, а также научились правильно читать натуральные числа.

Для закрепления материала ответьте на вопросы:

Какие числа называют однозначными, двузначными, трехзначными? Назовите разряды класса тысяч. Назовите первые пять классов в записи натуральных чисел. Как читают многозначные числа?

5. Рефлексия.

Хотелось бы узнать, понравился ли вам урок? Что было не понятным на уроке? Что еще бы вы хотели узнать?

Многозначные числа.

Многозначные числа.

Существуют в математике огромное количество натуральных чисел. Они все разные. Например, 2, 67, 354, 1009. Рассмотрим подробно эти числа.
Натуральное число 2 состоит из одной цифры, поэтому такое число называют, однозначным числом. Еще пример однозначных чисел: 3, 5, 8.
Натуральное число 67 состоит из двух цифр, поэтому такое число называют, двузначным числом. Пример двузначных чисел: 12, 35, 99.
Трехзначные числа состоят из трех цифр, например: 354, 444, 780.
Четырехзначные числа состоят из четырёх цифр, например: 1009, 2600, 5732.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные, шестизначные и т.д. числа, называются, многозначными числами.

Разряды чисел.

Рассмотрим число 134. У каждой цифры этого числа есть свое место. Такие места, называются, разрядами.

Цифра 4 занимает место или разряд единиц. Так же цифру 4 можно назвать цифрой первого разряда.
Цифра 3 занимает место или разряд десятков. Или цифру 3 можно назвать цифрой второго разряда.
И цифра 1 занимает разряд сотен. По-другому, цифру 1 можно назвать цифрой третьего разряда. Цифра 1 является последней цифрой слава числа 134, поэтому цифру 1 можно назвать, цифрой высшего разряда. Цифра высшего разряда всегда больше 0.

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда.  10 единиц образуют один разряд десяток, 10 десятков образуют один разряд сотен, десять сотен образуют разряд тысяч и т.д.
Если нет какого-то разряда, то вместо него будет стоять 0.

Например: число 208.
Цифра 8 – первый разряд единиц.
Цифра 0 – второй разряд десятков. 0 означает в математике ничего. Из записи следует, что десятков у данного числа нет.
Цифра 2 –  третий разряд сотен.

Такой разбор числа называется разрядным составом числа.

Классы.

Многозначные числа разбивают на группы по три цифры справа налево. Такие группы цифр называют классам. Первый класс справа называется классом единиц, второй называется классом тысяч,  третий – классом миллионов, четвёртый – классом  миллиардов, пятый – классом триллионов, шестой – классом квадриллионов, седьмой – классом квинтиллионов, восьмой – классом секстиллионов.

Класс единиц – первый класс справа с конца три цифры состоит из разряда единиц, разряда десятков и разряда сотен.
Класс тысяч – второй класс состоит из разряда: единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч.
Класс миллионов – третий класс состоит из разряда: единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Разберем пример:
У нас есть число 13 562 006 891.
Это число имеет 891 единиц в классе единиц, 6 единиц в классе тысяч, 562 единиц в классе миллионов и 13 единиц в классе миллиардов.

Таблица разрядов и классов.

Чтобы прочитать натуральное число 13562006891 нужно справа отметить по три цифры класса 13 562 006 891  и прочитать число единиц каждого класса слева направо:

13 миллиардов 562 миллионов 6 тысяч 891.

Сумма разрядных слагаемых.

Любое натурально число имеющее различные разряды можно разложить на сумму разрядных слагаемых. Рассмотрим пример:
Число 4062 распишем на разряды.

4 тысяч 0 сотен 6 десятков 2 единиц или по-другому можно записать

4062=4 ⋅1000+0 ⋅100+6 ⋅10+2

Следующий пример:
26490=2 ⋅10000+6 ⋅1000+4 ⋅100+9 ⋅10+0

Вопросы по теме:

Назовите первые четыре класса в записи натуральных чисел?
Ответ: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов.

Как читают многозначные числа?
Ответ: многозначные числа читают слева направо. Разбивают число по 3 цифры с конца на классы, называют все цифры, кроме нуля. Цифра 0 в записи  числа означают отсутствие разряда.

Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего?
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.

Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа?
Ответ: 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.

Что такое сумма разрядных слагаемых?
Ответ: Это разложение натурального числа на разряды и суммирование их.

Сколько десятков в сотне?
Ответ: в сотне 10 десятков.(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100)

Сколько сотен в тысячи?
Ответ: в тысячи 10 сотен. (100+100+100+100+100+100+100+100+100+100=1000)

Сколько десятков в тысячи?
Ответ: в тысячи 100 десятков.

Сколько тысяч в миллионе?
Ответ: в миллионе 1000 тысяч.

Примеры на задачи.

Пример №1:
Запишите и прочитайте число: а) пятизначное б) шестизначное.
Ответ: а) 35 100 (тридцать пять тысяч сто) б) 803 273 (восемьсот три тысячи двести семьдесят три)

Пример №2:
Сколько натуральных чисел: а) однозначных б) двузначных?
Ответ: а) однозначных натуральных чисел 10 (0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9), б) двузначных натуральных чисел 90 (10, 11, 12, …,99)

Пример №3:
В записи числа 10398 назовите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, …
Ответ: 8 – разряд единиц, 9 – разряд десятков, 3 – разряд сотен, 0 – разряд тысяч, 1 – разряд десятков тысяч.

Пример №4:
Напишите наименьшее трехзначное число и наибольшее пятизначное число.
Ответ: 100 и 99999.

Пример №5:
Запишите число 56976 в виде суммы разрядных слагаемых:
Ответ: 56976=50000+6000+900+70+6=5⋅10000+6⋅1000+9⋅100+7⋅10+6

Разряды для начинающих

Наш первый урок назывался числа. Мы рассмотрели лишь малую часть этой темы. На самом деле тема чисел достаточно обширна. В ней много тонкостей и нюансов, много хитростей и интересных фишек.

Сегодня мы продолжим тему чисел, но опять же не будем рассматривать её всю, чтобы не затруднять обучение лишней информацией, которая на первых порах не особо то и нужна. Мы поговорим о разрядах.

Что такое разряд?

Если говорить простым языком, то разряд это позиция цифры в числе или место, где располагается цифра. Возьмём для примера число 635. Это число состоит из трёх цифр: 6, 3 и 5.

Разряды надо читать справа налево. В числе 635 на первой позиции располагается цифра 5, на второй позиции – цифра 3, на третьей позиции – цифра 6.

Позиция, где располагается цифра 5, называется разрядом единиц

Позиция, где располагается цифра 3, называется разрядом десятков

Позиция, где располагается цифра 6, называется разрядом сотен

Каждый из нас слышал со школы такие вещи как «единицы», «десятки», «сотни». Разряды помимо того, что играют роль позиции цифры в числе, сообщают нам некоторую информацию о самом числе. В частности, разряды сообщают нам вес числа. Они сообщают сколько в числе единиц, сколько десятков и сколько сотен.

Вернёмся к нашему числу 635. В разряде единиц располагается пятёрка. О чём это говорит? А говорит это о том, что разряд единиц содержит пять единичек. Выглядит это так:

В разряде десятков располагается тройка. Это говорит о том, что разряд десятков содержит три десятка. Выглядит это так:

В разряде сотен располагается шестёрка. Это говорит о том, что в разряде сотен располагаются шесть сотен. Выглядит это так:

Если сложить число получившихся единиц, число десятков и число сотен, то получим наше изначальное число 635

Существуют и более старшие разряды такие как разряд тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч,  разряд миллионов и так далее. Такие большие числа мы будем рассматривать редко, но тем не менее о них тоже желательно знать.

Например, в числе 1 645 832 разряд единиц содержит 2 единицы, разряд десятков — 3 десятка, разряд сотен — 8 сотен, разряд тысяч — 5 тысяч, разряд десятков тысяч — 4 десятка тысяч, разряд сотен тысяч — 6 сотен тысяч, разряд миллионов — 1 миллион.

На первых этапах изучения разрядов желательно разбираться сколько единиц, десятков, сотен содержит то или иное число. К примеру, число 9 содержит 9 единиц. Число 12 содержит две единицы и один десяток. Число 123 содержит три единицы, два десятка и одну сотню.

Группировка предметов

После подсчета каких-нибудь предметов, разряды можно использовать для группировки этих предметов. К примеру, если мы насчитали во дворе 35 кирпичей, то можно использовать разряды для группировки этих кирпичей. В случае группировки предметов, разряды можно читать слева направо. Так, цифра 3 в числе 35 будет говорить о том, что в числе 35 содержатся три десятка. А это значит, что 35 кирпичей можно сгруппировать три раза по десять штук.

Итак, сгруппируем кирпичи три раза по десять штук:

Получилось тридцать кирпичей. Но осталось еще пять единиц кирпичей. Их мы назовем как «пять единиц»

Получилось три десятка и пять единиц кирпичей.

А если бы мы не стали группировать кирпичи на десятки и единицы, то можно было бы сказать, что число 35 содержит тридцать пять единиц. Такая группировка тоже была бы допустимой:

Аналогично можно рассуждать и про другие числа. К примеру, о числе 123. Ранее мы сказали, что это число содержит три единицы, два десятка и одну сотню. Но можно ещё сказать, что это число  содержит 123 единицы. Более того, можно сгруппировать это число и другим образом, сказав что оно содержит 12 десятков и 3 единицы.

Слова единицы, десятки, сотни, заменяют собой множимые 1, 10 и 100. К примеру, в разряде единиц числа 123 располагается цифра 3. С помощью множимого 1 можно записать, что эта единица содержится в разряде единиц три раза:

1 × 3 = 3

Далее в разряде десятков числа 123 располагается цифра 2. С помощью множимого 10 можно записать, что эта десятка содержится в разряде десятков два раза:

10 × 2 = 20

Далее в разряде сотен числа 123 располагается цифра 1. С помощью множимого 100 можно записать, что эта сотня содержится в разряде сотен один раз:

100 × 1 = 100

Если сложить полученные результаты 3, 20 и 100, то получим число 123

3 + 20 + 100 = 123

То же самое будет происходить если мы скажем, что число 123 содержит 12 десятков и 3 единицы. Другими словами, десятки будут сгруппированы 12 раз:

10 × 12 = 120

А единицы три раза:

1 × 3 = 3

Это можно понять на следующем примере. Если имеется 123 яблока, то можно сгруппировать первые 120 яблок 12 раз по 10 штук:

Получилось сто двадцать яблок. Но осталось еще три яблока. Их мы назовем как «три единицы»

Если сложить полученные результаты 120 и 3, снова получим число 123

120 + 3 = 123

Ещё можно сгруппировать 123 яблока на одну сотню, два десятка и три единицы.

Сгруппируем сотню:

Сгруппируем два десятка:

Сгруппируем три единицы:

Если сложить полученные результаты 100, 20 и 3, снова получим число 123

100 + 20 + 3 = 123

Ну и наконец, рассмотрим последнюю возможную группировку, где яблоки не будут распределяться на десятки и сотни, а будут собраны вместе. В таком случае число 123 будет читаться как «сто двадцать три единицы». Такая группировка тоже будет допустимой:

1 × 123 = 123

Пример 3. Прочитать число 523 всеми возможными способами.

Число 523 можно прочесть, как 3 единицы, 2 десятка и 5 сотен:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 2 = 20 (два десятка)

100 × 5 = 500 (пять сотен)

3 + 20 + 500 = 523

Ещё  можно прочесть, как 3 единицы 52 десятка:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 52 = 520 (пятьдесят два десятка)

3 + 520 = 523

Ещё число 523 можно прочесть, как 523 единицы:

1 × 523 = 523 (пятьсот двадцать три единицы)

Где применить разряды?

Разряды существенно облегчают некоторые вычисления. Представьте, что вы у доски и решаете задачу. Вы почти закончили задачу, осталось только вычислить последнее выражение и получить ответ. Выражение, которое надо вычислить, выглядит следующим образом:

Калькулятора под рукой нет, а хочется быстро записать ответ и удивить всех скоростью своих вычислений. Всё просто, если отдельно сложить единицы, отдельно десятки и отдельно сотни. Начинать нужно с разряда единиц. В первую очередь после знака равно (=) необходимо мысленно поставить три точки. Вместо этих точек будет располагаться новое число (наш ответ):

Теперь начинаем складывать. В разряде единиц числа 632 располагается цифра 2, а в разряде единиц числа 264 — цифра 4. Это означает, разряд единиц числа 632 содержит две единицы, а разряд единиц числа 264 содержит четыре единицы. Складываем 2 и 4 единицы — получаем 6 единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа (нашего ответа):

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 632 располагается цифра 3, а в разряде десятков числа 264 — цифра 6. Это означает, что разряд десятков числа 632 содержит три десятка, а разряд десятков числа 264 содержит шесть десятков. Складываем 3 и 6 десятков — получаем 9 десятков. Записываем цифру 9 в разряде десятков нового числа (нашего ответа):

Ну и в завершении складываем отдельно сотни. В разряде сотен числа 632 располагается цифра 6, а в разряде сотен числа 264 — цифра 2.  Это означает, что разряд сотен числа 632 содержит шесть сотен, а разряд сотен числа 264 содержит две сотни. Складываем 6 и 2 сотни, получаем 8 сотен. Записываем цифру 8 в разряде сотен нового числа (нашего ответа):

Таким образом, если к числу 632 прибавить 264, получается 896. Конечно, вы вычислите подобное выражение быстрее и окружающие начнут удивляться вашим способностям. Они будут думать, что вы быстро вычисляете большие числа, а на самом деле вы вычисляли маленькие. Согласитесь, что маленькие числа вычислять легче, чем большие.

Переполнение разряда

Разряд характеризуется одной цифрой от 0 до 9. Но иногда при вычислении числового выражения в середине решения может произойти переполнение разряда.

Например, при сложении чисел 32 и 14 переполнения не происходит. Сложение единиц этих чисел даст 6 единиц в новом числе. А сложение десятков этих чисел даст 4 десятка в новом числе. Получится ответ 46 или шесть единиц и четыре десятка.

А вот при сложении чисел 29 и 13 произойдёт переполнение. Сложение единиц этих чисел даёт 12 единиц, а сложение десятков 3 десятка. Если в новом числе в разряде единиц записать полученные 12 единиц, а в разряде десятков записать полученные 3 десятка, то получится ошибка:

Значение выражения 29 + 13 равно 42, а не 312. Как же следует поступать при переполнении? В нашем случае переполнение случилось в разряде единиц нового числа. При сложении девяти и трёх единиц у нас получилось 12 единиц. А в разряд единиц можно записывать только цифры в диапазоне от 0 до 9.

Дело в том, что 12 единиц это не просто «двенадцать единиц». По другому это число можно прочитать как «две единицы и один десяток». Разряд единиц предназначен только для единиц. Десяткам там не место. Здесь и заключается наша ошибка. Сложив 9 единиц и 3 единицы мы получили 12 единиц, которые по-другому можно назвать двумя единицами и одним десятком. Записав две единицы и один десяток в одном разряде, мы допустили ошибку, которая в итоге привела к неправильному ответу.

Чтобы исправить ситуацию, две единицы нужно записать в разряде единиц нового числа, а оставшийся десяток перенести на следующий разряд десятков. После сложения десятков в примере 29 + 13, мы прибавим к полученному результату тот десяток, который остался при сложении единиц.

Итак, из 12 единиц две единицы запишем в разряде единиц нового числа, а один десяток перенесем на следующий разряд

Как видно на рисунке, 12 единиц мы представили как 1 десяток и 2 единицы. Две единицы мы записали в разряде единиц нового числа. А один десяток перенесли к разрядам десятков. Этот десяток мы прибавим к результату сложения десятков чисел 29 и 13. Чтобы не забыть о нем, мы надписали его над десятками числа 29.

Теперь складываем десятки. Два десятка плюс один десяток будет три десятка, плюс один десяток, который остался от предыдущего сложения. В результате в разряде десятков получаем четыре десятка:

Пример 2. Сложить по разрядам числа 862 и 372.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 862 располагается цифра 2, в разряде единиц числа 372 — также цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 862 содержит две единицы, и разряд единиц числа 372 также содержит две единицы. Складываем 2 единицы плюс 2 единицы — получаем 4 единицы. Записываем цифру 4 в разряде единиц нового числа:

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 862 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 372 — число 7. Это означает, что разряд десятков числа 862 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 372 содержит семь десятков. Складываем 6 десятков и 7 десятков — получаем 13 десятков. Произошло переполнение разряда. 13 десятков это десятка повторенная 13 раз. А если повторить десятку 13 раз, то получится число 130

10 × 13 = 130

Число 130 состоит из трех десятков и одной сотни. Три десятка мы запишем в разряде десятков нового числа, а одну сотню отправим на следующий разряд:

Как видно на рисунке, 13 десятков (число 130) мы представили как 1 сотню и 3 десятка. Три десятка мы записали в разряде десятков нового числа. А одну сотню перенесли к разрядам сотен. Эту сотню мы прибавим к результату сложения сотен чисел 862 и 372. Чтобы не забыть о ней, мы надписали её над сотнями числа 862.

Теперь складываем сотни. Восемь сотен плюс три сотни будет одиннадцать сотен плюс одна сотня, которая осталась от предыдущего сложения. В результате в разряде сотен получаем двенадцать сотен:

Здесь также происходит переполнение разряда сотен, но это не приводит к ошибке, поскольку решение завершено. При желании с 12 сотнями можно провести те же действия, что мы провели с 13 десятками.

12 сотен это сотня, повторенная 12 раз. А если повторить сотню 12 раз, то получится 1200

100 × 12 = 1200

В числе 1200 две сотни и одна тысяча. Две сотни записываются в разряд сотен нового числа, а одна тысяча перенеслась к разряду тысяч.

Теперь рассмотрим примеры на вычитание. Для начала вспомним, что такое вычитание. Это операция, которая позволяет от одного числа вычесть другое. Вычитание состоит из трёх параметров: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Вычитать тоже нужно по разрядам.

Пример 3. Вычесть из числа 65 число 12.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 65 располагается цифра 5, а в разряде единиц числа 12 — цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 65 содержит пять единиц, а разряд единиц числа 12 содержит две единицы. Вычтем из пяти единиц две единицы, получим три единицы. Записываем цифру 3 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. В разряде десятков числа 65 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 12 — цифра 1. Это означает, что разряд десятков числа 65 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 12 содержит один десяток. Вычтем из шести десятков один десяток, получим пять десятков. Записываем цифру 5 в разряде десятков нового числа:

Пример 4. Вычесть из числа 32 число 15

В разряде единиц числа 32 содержится две единицы, а в разряде единиц числа 15 — пять единиц. От двух единиц не вычесть пять единиц, поскольку две единицы меньше, чем пять единиц.

Сгруппируем 32 яблока так, чтобы в первой группе было три десятка яблок, а во второй — оставшиеся две единицы яблок:

Итак, нам нужно из этих 32 яблок вычесть 15 яблок, то есть вычесть пять единиц и один десяток яблок. Причем вычесть по разрядам.

От двух единиц яблок нельзя вычесть пять единиц яблок. Чтобы выполнить вычитание, две единицы должны взять несколько яблок у соседней группы (разряда десятков). Но нельзя брать сколько хочется, поскольку десятки строго упорядочены по десять штук. Разряд десятков может дать двум единицам только один целый десяток.

Итак, берём один десяток из разряда десятков и отдаём его двум единицам:

К двум единицам яблок теперь присоединился один десяток яблок. Получается 12 единиц яблок. А от двенадцати можно вычесть пять, получится семь. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Поскольку разряд десятков отдал единицам один десяток, сейчас он имеет не три, а два десятка. Поэтому вычитаем из двух десятков один десяток. Останется один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Чтобы не забывать, что в каком-то разряде был взят один десяток (либо сотня либо тысяча), над этим разрядом принято ставить точку.

Пример 5. Вычесть из числа 653 число 286

В разряде единиц числа 653 содержится три единицы, а в разряде единиц числа 286 — шесть единиц. От трёх единиц не вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Взятый один десяток и три единицы вместе образуют тринадцать единиц. От тринадцати единиц можно вычесть шесть единиц, получится семь единиц. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Раньше разряд десятков числа 653 содержал пять десятков, но мы взяли с него один десяток, и теперь в разряде десятков содержатся четыре десятка. Из четырех десятков не вычесть восемь десятков, поэтому берем одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню:

Взятая одна сотня и четыре десятка вместе образуют четырнадцать десятков. От четырнадцати десятков можно вычесть восемь десятков, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Раньше разряд сотен числа 653 содержал шесть сотен, но мы взяли с него одну сотню, и теперь в разряде сотен содержатся пять сотен. Из пяти сотен можно вычесть две сотни, получается три сотни. Записываем цифру 3 в разряде сотен нового числа:

Намного сложнее вычитать из чисел вида 100, 200, 300, 1000, 10000. То есть числа, у которых на конце нули. Чтобы выполнить вычитание, каждому разряду приходится занимать десятки/сотни/ тысячи у следующего разряда. Давайте посмотрим, как это происходит.

Пример 6. Вычесть из числа 200 число 84

В разряде единиц числа 200 содержится ноль единиц, а в разряде единиц числа 84 — четыре единицы. От нуля не вычесть четыре единицы, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Но в разряде десятков нет десятков, которые мы могли бы взять, поскольку там тоже ноль. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы должны взять для него одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню для разряда десятков:

Взятая одна сотня это десять десятков. От этих десяти десятков мы берём один десяток и отдаём его единицам. Этот взятый один десяток и прежние ноль единиц вместе образуют десять единиц. От десяти единиц можно вычесть четыре единицы, получится шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Чтобы вычесть единицы мы обратились к разряду десятков за одним десятком, но на тот момент этот разряд был пуст. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы взяли одну сотню у разряда сотен. Эту одну сотню мы назвали «десять десятков». Один десяток мы отдали единицам. Значит на данный момент в разряде десятков содержатся не десять, а девять десятков. От девяти десятков можно вычесть восемь десятков, получится один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Для разряда десятков мы брали у разряда сотен одну сотню. Значит сейчас в разряде сотен содержатся не две сотни, а одна. Поскольку в вычитаемом разряд сотен отсутствует, мы переносим эту одну сотню в разряд сотен нового числа:

Получили окончательный ответ 116.

Естественно, выполнять вычитание таким традиционным методом довольно сложно, особенно на первых порах. Поняв сам принцип вычитания, можно воспользоваться нестандартными способами.

Первый способ заключается в том, чтобы уменьшить число, у которого на конце нули на одну единицу. Далее из полученного результата вычесть вычитаемое и к полученной разности прибавить единицу, которую изначально вычли из уменьшаемого. Давайте решим предыдущий пример этим способом:

Уменьшаемое здесь это число 200. Уменьшим это число на единицу. Если от 200 вычесть 1 получится 199. Теперь в примере 200 − 84 вместо числа 200 записываем число 199 и решаем пример 199 − 84. А решение этого примера не составляет особого труда. Единицы вычтем из единиц, десятки из десятков, а сотню просто перенесем к новому числу, поскольку в числе 84 нет сотен:

Получили ответ 115. Теперь к этому ответу прибавляем единицу, которую мы изначально вычли из числа 200

Получили окончательный ответ 116.

Пример 7. Вычесть из числа 100000 число 91899

Вычтем из 100000 единицу, получим 99999

Теперь из 99999 вычитаем 91899

К полученному результату 8100 прибавим единицу, которую мы вычли из 100000

Получили окончательный ответ 8101.

Второй способ вычитания заключается в том, чтобы рассматривать цифру, находящуюся в разряде, как самостоятельное число. Решим несколько примеров этим способом.

Пример 8. Вычесть из числа 75 число 36

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельное число.

Итак, в разряде единиц числа 75 располагается число 5, а в разряде единиц числа 36 располагается число 6. Из пяти не вычесть шести, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков.

В разряде десятков располагается число 7. Берем от этого числа одну единицу и мысленно дописываем её слева от числа 5

А поскольку от числа 7 взята одна единица, это число уменьшится на одну единицу и обратится в число 6

Теперь в разряде единиц числа 75 располагается число 15, а в разряде единиц числа 36 число 6. Из 15 можно вычесть 6, получится 9. Записываем число 9 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагалось число 7, но мы взяли с этого числа одну единицу, поэтому сейчас там располагается число 6. А в разряде десятков числа 36 располагается число 3. Из 6 можно вычесть 3, получится 3. Записываем число 3 в разряде десятков нового числа:

Пример 9. Вычесть из числа 200 число 84

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельно число.

Итак, в разряде единиц числа 200 располагается ноль, а в разряде единиц числа 84 — располагается четыре. От нуля не вычесть четыре, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в разряде десятков тоже ноль. Ноль не сможет дать нам единицу. В таком случае за следующее принимаем число 20.

Берём одну единицу от числа 20 и мысленно дописываем её слева от нуля, располагающегося в разряде единиц. А поскольку от числа 20 взята одна единица, это число обратится в число 19

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Десять минус четыре равно шесть. Записываем число 6 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагался ноль, но этот ноль вместе со следующей цифрой 2 образовал число 20, от которого мы брали одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде десятков числа 200 располагается число 9, а в разряде десятков числа 84 располагается число 8. Девять минус восемь равно одному. Записываем число 1 в разряде десятков нашего ответа:

Переходим к следующему числу, находящемуся к разряду сотен. Раньше там располагалось число 2, но это число вместе с цифрой 0 мы приняли за число 20, от которого взяли одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде сотен числа 200 располагается число 1, а в числе 84 разряд сотен пустой, поэтому мы переносим эту единицу к новому числу:

Этот метод поначалу кажется сложным и лишенным всякого смысла, но на деле он самый лёгкий. В основном мы будем им пользоваться при сложении и вычитании чисел в столбик.

Сложение в столбик

Сложение в столбик это школьная операция, которую помнят многие, но не мешает вспомнить её ещё раз. Сложение в столбик происходит по разрядам — единицы складываются с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сложить 61 и 23.

Сначала записываем первое число, а под ним второе число так, чтобы единицы и десятки второго числа оказались под единицами и десятками первого числа. Всё это соединяем знаком сложения (+) по вертикали:

Теперь единицы первого числа складываем с единицами второго числа, а десятки первого числа складываем с десятками второго числа:

Получили 61 + 23 = 84.

Пример 2. Сложить 108 и 60

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Теперь складываем единицы первого числа с единицами второго числа, десятки первого числа с десятками второго числа, сотни первого числа с сотнями второго числа. Но сотня есть только у первого числа 108. В этом случае цифра 1 из разряда сотен добавляется к новому числу (нашему ответу). Как говорили в школе «сносится»:

Видно, что мы снесли цифру 1 к нашему ответу.

Когда речь идёт о сложении, нет разницы в каком порядке записывать числа. Наш пример вполне можно было записать и так:

Первая запись, где число 108 было наверху, более удобнее для вычисления. Человек вправе выбирать любую запись, но обязательно нужно помнить, что единицы надо записывать строго под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Другими словами, следующие записи будут неправильными:

Если вдруг при сложении соответствующих разрядов получится число, которое не помещается в разряд нового числа, то необходимо записать одну цифру из младшего разряда, а оставшуюся перенести на следующий разряд.

Речь в данном случае идет о переполнении разряда, о котором мы говорили ранее. Например, при сложении 26 и 98 получается 124. Давайте посмотрим, как это получилось.

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 6+8=14. Получили число 14, которое не вместится в разряд единиц нашего ответа. В таких случаях мы сначала вытаскиваем из 14 цифру, находящуюся в разряде единиц и записываем её в разряде единиц нашего ответа. В разряде единиц числа 14 располагается цифра 4. Записываем эту цифру в разряде единиц нашего ответа:

А куда девать цифру 1 из числа 14? Здесь начинается самое интересное. Эту единицу мы переносим на следующий разряд. Она будет добавлена к разряду десятков нашего ответа.

Складываем десятки с десятками. 2 плюс 9 равно 11, плюс добавляем единицу, которая досталась нам от числа 14. Добавив к 11 нашу единицу, мы получим число 12, которое и запишем в разряде десятков нашего ответа. Поскольку это конец решения, здесь уже не стоит вопрос о том, вместится ли полученный ответ в разряд десятков. 12 мы записываем целиком, образуя окончательный ответ.

Получили ответ 124.

Говоря традиционным методом сложения, при сложении 6 и 8 единиц получилось 14 единиц. 14 единиц это 4 единицы и 1 десяток. Четыре единицы мы записали в разряде единиц, а один десяток отправили на следующий разряд (к разрядам десятков). Затем сложив 2 десятка и 9 десятков, мы получили 11 десятков, плюс добавили 1 десяток, который остался при сложении единиц. В результате получили 12 десятков. Эти двенадцать десятков мы записали целиком, образуя окончательный ответ 124.

Этот простенький пример демонстрирует школьную ситуацию, в которой говорят «четыре пишем, один в уме». Если вы будете решать примеры и у вас после сложения разрядов останется цифра, которую надо держать в уме, запишите её над тем разрядом, куда она будет потом добавлена. Это позволит вам не забыть о ней:

Пример 2. Сложить числа 784 и 548

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 4+8=12. Число 12 не вмещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому мы из 12 вынимаем цифру 2 из разряда единиц и записываем её в разряд единиц нашего ответа. А цифру 1 переносим на следующий разряд:

Теперь складываем десятки. Складываем 8 и 4 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции (единица осталась от 12, на рисунке она выделена синим цветом). Складываем 8+4+1=13. Число 13 не вместится в разряд десятков нашего ответа, поэтому мы запишем цифру 3 в разряде десятков, а единицу перенесём на следующий разряд:

Теперь складываем сотни. Складываем 7 и 5 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции: 7+5+1=13. Записываем число 13 в разряд сотен:

Вычитание в столбик

Пример 1. Вычтем из числа 69 число 53.

Запишем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками. Затем вычитаем по разрядам. Из единиц первого числа вычитаем единицы второго числа. Из десятков первого числа вычитаем десятки второго числа:

Получили ответ 16.

Пример 2. Найти значение выражения 95 − 26

Записываем в столбик данное выражение:

Разряд единиц числа 95 содержит 5 единиц, а разряд единиц числа 26 содержит 6 единиц. От пяти единиц нельзя вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Этот десяток и имеющиеся пять единиц вместе составляют 15 единиц. Из 15 единиц можно вычесть 6 единиц, получится 9 единиц. Записываем цифру 9 в разряде единиц нашего ответа:

Теперь вычитаем десятки. Разряд десятков числа 95 раньше содержал 9 десятков, но мы взяли с этого разряда один десяток, и сейчас он содержит 8 десятков. А разряд десятков числа 26 содержит 2 десятка. Из восьми десятков можно вычесть два десятка, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нашего ответа:

Воспользуемся нестандартным способом вычитания при котором каждая цифра, входящая в число, рассматривается как отдельное число. При вычитании больших чисел в столбик этот способ очень удобен.

В разряде единиц уменьшаемого располагается число 5. А в разряде единиц вычитаемого число 6. Из пятёрки не вычесть шестёрку. Поэтому берем одну единицу у числа 9. Взятая единица мысленно дописывается слева от пятёрки. А поскольку у числа 9 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате пятёрка обращается в число 15. Теперь можно из 15 вычесть 6. Получается 9. Записываем число 9 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к разряду десятков. Раньше там располагалось число 9, но поскольку мы взяли у него одну единицу оно обратилось в число 8. В разряде десятков второго числа располагается число 2. Восемь минус два будет шесть. Записываем число 6 в разряде десятков нашего ответа:

Пример 3. Найдем значение выражения 2412 − 2317

Записываем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 2412 располагается число 2, а в разряде единиц числа 2317 располагается число 7. Из двойки не вычесть семёрку, поэтому берем единицу у следующего числа 1. Взятую единицу мысленно дописываем слева от двойки:

В результате двойка обращается в число 12. Теперь можно из 12 вычесть 7. Получается 5. Записываем цифру 5 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к десяткам. В разряде десятков числа 2412 раньше располагалось число 1, но поскольку мы взяли у него одну единицу, оно обратилось в 0. А в разряде десятков числа 2317 располагается число 1. Из нуля не вычесть единицу. Поэтому берем одну единицу у следующего числа 4. Взятую единицу мысленно дописываем слева от нуля. А поскольку у числа 4 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате ноль обращается в число 10. Теперь можно из 10 вычесть 1. Получается 9. Записываем цифру 9 в разряде десятков нашего ответа:

В разряде сотен числа 2412 раньше располагалось число 4, но сейчас там располагается число 3. В разряде сотен числа 2317 также располагается число 3. Три минус три равно нулю. То же самое и с разрядами тысяч в обоих числах. Два минус два равно нулю. А если разность старших разрядов равна нулю, то этот ноль не записывают. Поэтому окончательным ответом будет число 95.

Пример 4. Найти значение выражения 600 − 8

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 600 располагается ноль, а в разряде единиц числа 8 само это число. Из нуля не вычесть восьмерку, поэтому берем единицу у следующего числа. Но следующее число это тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем число 60. Берем одну единицу у этого числа и мысленно дописываем её слева от нуля. А поскольку у числа 60 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Из 10  можно вычесть 8, получится 2. Записываем число 2 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. В разряде десятков раньше располагался ноль, но сейчас там располагается число 9, а во втором числе разряд десятков отсутствует. Поэтому число 9 переносится к новому числу:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде сотен. В разряде сотен раньше располагалось число 6, но сейчас там располагается число 5, а во втором числе разряд сотен отсутствует. Поэтому число 5 переносится к новому числу:

Пример 5. Найти значение выражения 10000 − 999

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 10000 располагается 0, а в разряде единиц числа 999 располагается число 9. Из нуля не вычесть девятку, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем 1000 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1000. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 999. А взятую единицу дописали слева от нуля.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Десять минус девять равно одному. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало ноль. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел тоже дало ноль. А девятка из разряда тысяч была перенесена к новому числу:

Пример 6. Найти значение выражения 12301­ − 9046

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 12301 располагается число 1, а в разряде единиц числа 9046 располагается число 6. Из единицы не вычесть шесть, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде располагается ноль. Ноль ничего нам дать не сможет. Тогда за следующее число принимаем 1230 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1230. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 1229. А взятую единицу мысленно дописали слева от единицы, находящейся в разряде единиц.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Одиннадцать минус шесть равно пять. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало число 5. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел дало число 2. Вычитание чисел, находящихся в разряде тысяч обоих чисел дало число 3.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Выполните сложение:

Решение:

Задание 2. Выполните сложение:

Решение:

Задание 3. Выполните сложение:

Решение:

Задание 4. Выполните сложение:

Решение:

Задание 5. Выполните сложение:

Решение:

Задание 6. Выполните сложение:

Решение:

Задание 7. Выполните сложение:

Решение:

Задание 8. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 9. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 10. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 11. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 12. Выполните вычитание:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Название чисел | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.

В названиях арабских чисел каждая цифра принадлежит своему разряду, а каждые три цифры образуют класс. Таким образом, последняя цифра в числе обозначает количество единиц в нем и называется, соответственно, разрядом единиц. Следующая, вторая с конца, цифра обозначает десятки (разряд десятков), и третья с конца цифра указывает на количество сотен в числе – разряд сотен. Дальше разряды точно также по очереди повторяются в каждом классе, обозначая уже единицы, десятки и сотни в классах тысяч, миллионов и так далее. Если число небольшое и в нем нет цифры десятков или сотен, принято принимать их за ноль. Классы группируют цифры в числах по три, нередко в вычислительных приборах или записях между классами ставится точка или пробел, чтобы визуально разделить их. Это сделано для упрощения чтения больших чисел. Каждый класс имеет свое название: первые три цифры – это класс единиц, далее идет класс тысяч, затем миллионов, миллиардов (или биллионов) и так далее.

Поскольку мы пользуемся десятичной системой исчисления, то основная единица измерения количества – это десяток, или 10¹. Соответственно с увеличением количества цифр в числе, увеличивается и количество десятков 10²,10³,10⁴ и т.д. Зная количество десятков можно легко определить класс и разряд числа, например, 10¹⁶ – это десятки квадриллионов, а 3×10¹⁶ – это три десятка квадриллионов. Разложение чисел на десятичные компоненты происходит следующий образом – каждая цифра выводится в отдельное слагаемое, умножаясь на требуемый коэффициент 10ⁿ, где n – положение цифры по счет слева направо.
Например: 253 981=2×10⁶+5×10⁵+3×10⁴+9×10³+8×10²+1×10¹

Также степень числа 10 используется и в написании десятичных дробей: 10^(-1) – это 0,1 или одна десятая. Аналогичным образом с предыдущим пунктом, можно разложить и десятичное число, n в таком случае будет обозначать положение цифры от запятой справа налево, например: 0,347629= 3×10^(-1)+4×10^(-2)+7×10^(-3)+6×10^(-4)+2×10^(-5)+9×10^(-6)

Названия десятичных чисел. Десятичные числа читаются по последнему разряду цифр после запятой, например 0,325 – триста двадцать пять тысячных, где тысячные – это разряд последней цифры 5.

Разделение числа на целые и десятичные части »Chandoo.org

Привет всем, у меня есть номер 55585 в ячейке C3.
C3 — это значение, которое я вручную меняю каждый раз на другой номер
, как я могу написать код vba на:
1st. разделите 54000 из 55585 на делитель 500 и получите результат 108 в ячейку A1
и после
2-ю. чтобы разделить 1000 из 55585 с делителем 100 и получить результат 10 в ячейку A2
и после
3-го. разделить 500 из 55585 с делителем 50 и получить результат 10 в ячейку A3
и после
4-е.разделить 75 из 55585 с делителем 25 и получить результат
3 на ячейку A4
и после
5-ю. разделить 10 из 55585 с делителем 10 и получить результат
1 в ячейку A5

, а ячейка A1 равна 120 и становится 228 путем добавления результата 100 к A1
(например, A1 = 120 + результат 1-го деления 108 = 228)
из первого деления.

, а ячейка A2 равна 100 и становится 110 путем добавления результата 10 к A2
(например, A2 = 100 + результат 2-го деления 10 = 110) из второго деления.

, а ячейка A3 равна 120 и становится 130 путем добавления результата 10 к A3
(например, A3 = 120 + результат третьего деления 10 = 130) из третьего деления

, а ячейка A4 равна 80 и становится 83 путем добавления результата 3 к A4
(например, A4 = 80 + результат 4-го деления 3 = 83) из четвертого деления

, а ячейка A5 равна 80 и становится 81 путем добавления результата 1 к A5
(например, A5 = 80 + результат четвертого деления 1 = 81) пятого деления.

означает числа больше 1000, поскольку 54000 должно делиться на 500

означает числа, меньшие или равные 1000, поскольку 1000 должно делиться на 100

означает числа меньше или равные 500, поскольку 500 должно делиться на 50

означает, что числа меньше или равны 100, поскольку 500 должно делиться на 25

это означает, что числа меньше или равны 50, так как 50 должно делиться на 10

java — Как разделить большие, тесно связанные классы?

В дополнение к проницательному ответу Касабланки — если нескольким классам нужно делать одни и те же базовые вещи с некоторым типом сущности (добавление пользователей в коллекцию, обработка сообщений и т. Д.), Эти процессы также должны быть отделены.

Есть несколько способов сделать это — по наследству или по составу. Для наследования вы можете использовать абстрактные базовые классы с конкретными методами, которые предоставляют поля и функциональные возможности для обработки пользователей или сообщений, например, и иметь такие объекты, как chatroom и user (или любые другие), расширяющие эти классы.

По разным причинам хорошим общим правилом является использование композиции вместо наследования. Вы можете использовать композицию для этого разными способами. Поскольку обработка пользователей или сообщений является центральной функцией классов, можно утверждать, что внедрение конструктора является наиболее подходящим.Таким образом, зависимость прозрачна, и объект не может быть создан без необходимой функциональности. Если способ обработки пользователей или сообщений может измениться или расшириться, вам следует подумать об использовании чего-то вроде шаблона стратегии.

В обоих случаях для обеспечения гибкости обязательно используйте код для интерфейсов, а не для конкретных классов.

При этом всегда учитывайте стоимость дополнительной сложности при использовании таких шаблонов — если они вам не понадобятся, не кодируйте их.Если вы знаете, что, скорее всего, не собираетесь менять способ обработки пользователей / сообщений, вам не нужна структурная сложность шаблона стратегии, но чтобы разделить проблемы и избежать повторения, вам все равно следует разделить общие функции из конкретных экземпляров, которые его используют — и, если не существует основополагающих причин для обратного, объедините пользователей такой функциональности обработки (чаты, пользователи) с объектом, который выполняет обработку.

Итак, подытожим:

1. Как писал Касабланка: Разделите и инкапсулируйте чаты, пользователей и т. Д.
2. Отдельные общие функции
3. Рассмотрите возможность разделения отдельных функций, чтобы отделить представление данных (а также доступ и изменение) от более сложных функций по отдельным экземплярам данных или их совокупности (например, что-то вроде searchUsers могут входить в класс коллекции или репозиторий / identity-map)

Формула Excel: разделение текста и чисел

Обзор

Формула выглядит сложной, но на самом деле механика довольно проста.

Как и в случае с большинством формул, которые разделяют или извлекают текст, ключ заключается в том, чтобы найти позицию того, что вы ищете. Когда у вас есть позиция, вы можете использовать другие функции для извлечения того, что вам нужно.

В этом случае мы предполагаем, что числа и текст объединены, и что число появляется после текста. Из исходного текста, который отображается в одной ячейке, вы хотите разделить текст и числа на отдельные ячейки, например:

Как указано выше, ключевым моментом в этом случае является определение начальной позиции числа, что можно сделать с помощью такой формулы:

 
 = МИН (НАЙТИ ({0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A1 & "0123456789")) 

Когда у вас есть позиция, чтобы извлечь только текст, используйте:

И, чтобы извлечь только число, используйте:

В первой формуле выше мы используем функцию НАЙТИ, чтобы определить начальную позицию числа. Для find_text мы используем константу массива {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, это заставляет функцию FIND выполнять отдельный поиск для каждого значения в константе массива. Поскольку константа массива содержит 10 чисел, результатом будет массив с 10 значениями. Например, если исходный текст — «яблоки30», результирующий массив будет:

 
 {8,10,11,7,13,14,15,16,17,18} 

Каждое число в этом массиве представляет позицию элемента в константе массива внутри исходного текста.

Затем функция MIN возвращает наименьшее значение в списке, которое соответствует позиции в первом числе , которое появляется в исходном тексте. По сути, функция НАЙТИ получает все числовые позиции, а MIN дает нам первую числовую позицию: обратите внимание, что 7 — это наименьшее значение в массиве, которое соответствует позиции числа 3 в исходном тексте.

Вам может быть интересно узнать о нечетной конструкции для inside_text в функции поиска:

Эта часть формулы объединяет все возможные числа 0–9 с исходным текстом в B5. К сожалению, FIND не возвращает ноль, если значение не найдено, поэтому это просто умный способ избежать ошибок, которые могут возникнуть, когда число не найдено.

В этом примере, поскольку мы предполагаем, что число всегда будет появляться в исходном тексте секунд , он работает хорошо, потому что MIN заставляет возвращать только наименьшее или первых вхождений числа. Пока в исходном тексте присутствует номер , будет возвращена эта позиция.

Если исходный текст не содержит чисел, будет возвращена «фиктивная» позиция, равная длине исходного текста + 1. С этой фиктивной позицией формула LEFT выше по-прежнему будет возвращать текст, а формула RIGHT вернет пустую строку («»).

партисплит-функция | R Документация

Бинарные и многосторонние расщепления

Класс для представления многосторонних разделений и функций для вычислений на шпагатах.

Ключевые слова

дерево

Использование

  partysplit (varid, breaks = NULL, index = NULL, right = TRUE,
    prob = NULL, info = NULL)
kidids_split (разделить, данные, vmatch = 1: длина (данные), obs = NULL)
разделение_символов (разделение, данные = NULL,
    digits = getOption ("цифры") - 2)
varid_split (разделить)
breaks_split (разделить)
index_split (разделение)
right_split (разделить)
prob_split (разделить)
info_split (сплит)  

Аргументы

варид

целое число, определяющее переменную для разделения, т. е.е., номер столбца в данных .

перерывов

числовой вектор точек разделения.

индекс

целочисленный вектор, содержащий непрерывную последовательность от одного до количества детских узлов. Может содержать NA s.

правый

логический, указывающий, если интервалы, определенные перерывов следует закрыть на вправо (и открывать слева) или наоборот.

проб

числовой вектор, представляющий распределение вероятностей над детскими узлами.

информация

дополнительная информация.

сплит

объект класса партисплит .

данные

a список или данных.рама .

vmatch

перестановка номеров переменных в данных .

обс

логический или целочисленный вектор, указывающий подмножество наблюдения в данных .

цифры

минимальное количество значащих цифр.

Детали

Разделение — это в основном функция, отображающая данные, более конкретно переменная разделения, к набору целых чисел, указывающих дочерние узлы, в которые нужно отправлять наблюдения.Объекты класса partysplit описывают такую ​​функцию и могут может быть настроен с помощью конструктора partysplit () . Переменные доступны в списке данных или . кадр (здесь данные ) и varid указывает переменная разделения, то есть переменная или элемент списка для разделения. Конструктор partysplit () не имеет доступа фактическим данным, то есть не оценивает разбиений.

kidids_split (split, data) фактически разделяет данные data [obs, varid_split (split)] и присваивает целое число (давая номер детского узла) к каждому наблюдению. Если задано vmatch , используется переменная vmatch [varid_split (split)] .

character_split () возвращает символьное представление из его разделить аргумент . Остальные функции здесь определены функции доступа для partysplit объекты.

Числовой вектор разбивается на определяет, как диапазон переменная разделения (после приведения к числовому через as.numeric ) разделен на интервалы (как в вырезать ) и может быть НЕТ . Эти интервалы представлены числа от 1 до длины (разрывы) + 1 .

индекс присваивает этим длину (разрывы) + 1 интервалы до одного из по крайней мере двух детских узлов. Таким образом, индекс вектор целых чисел, каждый элемент которого соответствует к одному элементу в списке детей , содержащих партинода подробности см. в разделе партинод .Вектор индекс может содержать NA s, в этом случае соответствующий значения переменной разделения рассматриваются как пропущенные (для пример уровней факторов, которых нет в обучающей выборке). Необходимо указать либо разрывов , либо индекса . Когда разрывается, — это NULL , предполагается, что сама переменная разделения имеет режим хранения целое число (например, это коэффициент ).

проблема определяет распределение вероятностей по все дочерние узлы, которые используются для случайного разделения когда детерминированное разделение невозможно (из-за отсутствия значения, например).

info принимает произвольную информацию, указанную пользователем.

Значение

Конструктор partysplit () возвращает объект класса partysplit :

kidids_split () возвращает целочисленный вектор, описывающий разделение наблюдений на детские узлы.

character_split () дает символьное представление split, а остальные функции возвращают соответствующие слоты партисплит объектов.

Список литературы

Hothorn T, Zeileis A (2015). partykit: модульный набор инструментов для рекурсивного тусовки в R. Журнал исследований в области машинного обучения , 16 , 3905-3909.

См. Также

разрез

Псевдонимы

• партисплит
• kidids_split
• разделитель символов
• varid_split
• breaks_split
• index_split
• правая_сплит
• проб_сплит
• info_split

Примеры

  # NOT RUN {
данные ("радужная оболочка", пакет = "наборы данных")

## двоичное разбиение в числовой переменной `Sepal. Длина'
sl5 <- партисплит (который (names (iris) == "Sepal.Length"),
    перерывы = 5)
character_split (sl5, data = iris)
таблица (kidids_split (sl5, data = iris), iris $ Sepal.Length <= 5)

## многостороннее разделение в числовой переменной `Sepal.Width ',
## более высокие значения переходят к первому ребенку, наименьшие значения
## последнему ребенку
sw23 <- partysplit (который (names (iris) == "Sepal.Width"),
    разрывы = c (3, 3.5), индекс = 3: 1)
character_split (sw23, данные = радужная оболочка)
таблица (kidids_split (sw23, data = iris),
    вырезать (iris $ Sepal.Ширина, разрывы = c (-Inf, 2, 3, Inf)))

## двоичное разбиение в факторе `Виды '
sp <- partysplit (который (names (iris) == "Виды"),
    индекс = c (1L, 1L, 2L))
разделитель_символа (sp, data = iris)
таблица (kidids_split (sp, data = iris), iris $ Species)

## многостороннее разбиение в факторе `Виды '
sp <- partysplit (which (names (iris) == "Species"), index = 1: 3)
разделитель_символа (sp, data = iris)
таблица (kidids_split (sp, data = iris), iris $ Species)

## многостороннее разделение в числовой переменной `Sepal. Width '
sp <- partysplit (which (names (iris) == "Sepal.Ширина"),
    breaks = quantile (iris $ Sepal.Width))
разделитель_символа (sp, data = iris)

#}
  

  Число ('123')
Число ('123') === 123

Число («единорог»)
Число (не определено)
  

  const наибольшееЧисло = Число.MAX_VALUE
const smallestNum = Число.MIN_VALUE
const infiniteNum = Число.POSITIVE_INFINITY
const negInfiniteNum = Число.NEGATIVE_INFINITY
const notANum = Число.NaN
  

  const BigInt = Число.MAX_SAFE_INTEGER
const smallestInt = Число.MIN_SAFE_INTEGER  

  let d = new Date ('17 декабря 1995 г. 03:24:00')
консоль.журнал (Число (d))
  

  Число ('123')
Число ('123') === 123
Число ('12,3 ')
Число ('12,00 ')
Число ('123e-1')
Число('')
Число (ноль)
Число ('0x11')
Число ('0b11')
Число ('0o11')
Число ('фу')
Число ('100a')
Число ('- Бесконечность')